同济高数 第11章 第11-4-8题

[AI解答]

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问题：求面密度为 $\mu_{0}$ 的均匀半球壳 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} (z \geq 0)$ 对于 $z$ 轴的转动惯量。

解：

转动惯量公式为
$$
I_z = \iint_{S} (x^2 + y^2) \,\mu_{0}\, \mathrm{d}S
$$
由于 $\mu_{0}$ 为常数，可提出积分号外：
$$
I_z = \mu_{0} \iint_{S} (x^2 + y^2) \,\mathrm{d}S
$$

半球壳参数化：采用球坐标
$$
x = a \sin\varphi \cos\theta,\quad y = a \sin\varphi \sin\theta,\quad z = a \cos\varphi
$$
其中 $\varphi \in [0, \pi/2]$（因为 $z \ge 0$），$\theta \in [0, 2\pi)$。

球面上面积元为
$$
\mathrm{d}S = a^2 \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta
$$
并且
$$
x^2 + y^2 = a^2 \sin^2\varphi
$$

因此被积函数为
$$
(x^2 + y^2)\,\mathrm{d}S = (a^2 \sin^2\varphi) \cdot (a^2 \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta) = a^4 \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta
$$

于是转动惯量
$$
I_z = \mu_{0} \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/2} a^4 \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi
$$

先对 $\theta$ 积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi
$$

再对 $\varphi$ 积分：
$$
\int_{0}^{\pi/2} \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{\pi/2} \sin\varphi (1 - \cos^2\varphi) \,\mathrm{d}\varphi
$$
令 $u = \cos\varphi$，则 $\mathrm{d}u = -\sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $u=1$，$\varphi=\pi/2$ 时 $u=0$，于是
$$
\int_{0}^{\pi/2} \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi = \int_{1}^{0} (1 - u^2)(-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{1} (1 - u^2)\,\mathrm{d}u = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
$$

因此
$$
I_z = \mu_{0} \cdot 2\pi \cdot a^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi a^4 \mu_{0}}{3}
$$

最终答案：
$$
\boxed{I_z = \frac{4\pi a^{4} \mu_{0}}{3}}
$$

难度评级：★★☆☆☆