同济高数 第12章 第12-2-2题

[AI解答]

[AI解答]

我们逐题用比较审敛法或其极限形式判定收敛性。

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（1）
级数为
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}
$$
通项 $u_n = \frac{1}{2n-1}$，当 $n\to\infty$ 时，
$$
u_n \sim \frac{1}{2n}
$$
而调和级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}$ 发散，故由极限形式的比较审敛法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n-1} = \frac12 > 0
$$
因此原级数发散。

难度：★☆☆☆☆

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（2）
通项
$$
u_n = \frac{1+n}{1+n^2}
$$
当 $n\to\infty$ 时，
$$
u_n \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}
$$
取 $v_n = \frac{1}{n}$，则
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(1+n)n}{1+n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{n^2+1} = 1 > 0
$$
而 $\displaystyle{\sum \frac{1}{n}}$ 发散，故原级数发散。

难度：★★☆☆☆

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（3）
通项
$$
u_n = \frac{1}{(n+1)(n+4)}
$$
当 $n\to\infty$ 时，
$$
u_n \sim \frac{1}{n^2}
$$
取 $v_n = \frac{1}{n^2}$，则
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{(n+1)(n+4)} = 1 > 0
$$
而 $p$-级数 $\displaystyle{\sum \frac{1}{n^2}}$ 收敛（$p=2>1$），故原级数收敛。

难度：★★☆☆☆

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（4）
通项
$$
u_n = \sin\frac{\pi}{2^n}
$$
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{\pi}{2^n} \to 0$，利用等价无穷小 $\sin x \sim x$，得
$$
u_n \sim \frac{\pi}{2^n}
$$
取 $v_n = \frac{1}{2^n}$，则
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \pi > 0
$$
而 $\displaystyle{\sum \frac{1}{2^n}}$ 是公比 $r=\frac12<1$ 的几何级数，收敛，故原级数收敛。

难度：★★☆☆☆

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（5）
通项
$$
u_n = \frac{1}{1+a^n}, \quad a>0
$$
分情况：

- 若 $0 < a < 1$，则 $a^n \to 0$，于是
$$
u_n \to 1 \neq 0
$$
由级数收敛的必要条件，级数发散。

- 若 $a = 1$，则
$$
u_n = \frac{1}{2}
$$
通项不趋于0，发散。

- 若 $a > 1$，则当 $n\to\infty$ 时，
$$
u_n \sim \frac{1}{a^n}
$$
取 $v_n = \frac{1}{a^n}$，则
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{1+a^n} = 1 > 0
$$
而 $\displaystyle{\sum \frac{1}{a^n}}$ 是公比 $r=\frac{1}{a}<1$ 的几何级数，收敛，故原级数收敛。

综上：
- 当 $0 < a \le 1$ 时，级数发散；
- 当 $a > 1$ 时，级数收敛。

难度：★★★☆☆

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最终答案
（1）发散；（2）发散；（3）收敛；（4）收敛；（5）$01$收敛。