同济高数 第12章 第12-2-3题
📝 题目
3．用比值审敛法判定下列级数的收敛性：
（1）$\displaystyle \frac{3}{1 \times 2}+\frac{3^{2}}{2 \times 2^{2}}+\frac{3^{3}}{3 \times 2^{3}}+\cdots+\frac{3^{n}}{n \times 2^{n}}+\cdots$ ；
（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}}$ ；
（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} \times n!}{n^{n}}$ ；
（4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们使用比值审敛法（达朗贝尔判别法）逐题判定。
---
（1）
级数通项为
$$
u_n = \frac{3^n}{n \cdot 2^n}
$$
计算比值极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}
= \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\frac{3^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}}{\displaystyle\frac{3^n}{n 2^n}}
= \lim_{n\to\infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}} \cdot \frac{n 2^n}{3^n}
= \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{2(n+1)}
= \frac{3}{2} > 1
$$
因此级数发散。
---
（2）
通项
$$
u_n = \frac{n^2}{3^n}
$$
比值极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2}
= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{3 n^2}
= \frac{1}{3} < 1
$$
因此级数收敛。
---
（3）
通项
$$
u_n = \frac{2^n n!}{n^n}
$$
比值极限：
$$
\frac{u_{n+1}}{u_n}
= \frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!}
= \frac{2 (n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}}
= 2 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n}
= 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^n
$$
取极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n
= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}
= \frac{1}{e}
$$
因此极限值为
$$
\frac{2}{e} < 1
$$
所以级数收敛。
---
（4）
通项
$$
u_n = n \tan\frac{\pi}{2^{n+1}}
$$
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{\pi}{2^{n+1}} \to 0$，利用等价无穷小 $\tan x \sim x$，有
$$
u_n \sim n \cdot \frac{\pi}{2^{n+1}}
$$
考虑比值：
$$
\frac{u_{n+1}}{u_n}
\sim \frac{(n+1)\frac{\pi}{2^{n+2}}}{n\frac{\pi}{2^{n+1}}}
= \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{2}
\to \frac{1}{2} < 1
$$
因此级数收敛。
---
最终答案：
（1）发散；（2）收敛；（3）收敛；（4）收敛。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判定级数(1)的收敛性
级数通项为 u_n = 3^n/(n·2^n)。计算比值极限：lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = lim_{n→∞} [3^{n+1}/((n+1)2^{n+1})] / [3^n/(n2^n)] = lim_{n→∞} (3n)/(2(n+1)) = 3/2 > 1，由比值审敛法，级数发散。
公式：lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = 3/2 > 1
提示：注意化简时指数和阶乘的处理。
步骤 2/4
目标：判定级数(2)的收敛性
通项 u_n = n^2/3^n。计算比值极限：lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = lim_{n→∞} [(n+1)^2/3^{n+1}] / [n^2/3^n] = lim_{n→∞} (n+1)^2/(3n^2) = 1/3 < 1，级数收敛。
公式：lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = 1/3 < 1
提示：注意极限计算中最高次项系数比。
步骤 3/4
目标：判定级数(3)的收敛性
通项 u_n = 2^n n!/n^n。计算比值：u_{n+1}/u_n = [2^{n+1}(n+1)!/(n+1)^{n+1}] / [2^n n!/n^n] = 2(n+1)n^n/(n+1)^{n+1} = 2[n/(n+1)]^n。取极限：lim_{n→∞} [n/(n+1)]^n = 1/e，故极限为 2/e < 1，级数收敛。
公式：lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = 2/e < 1
提示：利用重要极限 lim (1+1/n)^n = e。
步骤 4/4
目标：判定级数(4)的收敛性
通项 u_n = n tan(π/2^{n+1})。当 n→∞ 时，tan(π/2^{n+1}) ~ π/2^{n+1}，故 u_n ~ nπ/2^{n+1}。计算比值极限：lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = lim_{n→∞} [(n+1)π/2^{n+2}] / [nπ/2^{n+1}] = lim_{n→∞} (n+1)/(2n) = 1/2 < 1，级数收敛。
公式：lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = 1/2 < 1
提示：使用等价无穷小简化通项。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。