同济高数 第12章 第12-5-5题
📝 题目
5．验证函数 $\displaystyle y(x)=1+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots(-\infty\lt x\lt +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{x}$ ，并利用此结果求幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，我们已知函数
$$
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!}, \quad -\infty < x < +\infty
$$
这是指数型级数，收敛半径为 $+\infty$，可以逐项求导。
第一步：求一阶导数
逐项求导：
$$
y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n x^{3n-1}}{(3n)!}
= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}
$$
令 $k = n-1$，则 $n = k+1$，$3n-1 = 3k+2$，于是
$$
y'(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}
$$
第二步：求二阶导数
对 $y'(x)$ 再逐项求导：
$$
y''(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(3k+2) x^{3k+1}}{(3k+2)!}
= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}
$$
第三步：组合微分方程的左端
我们有：
$$
y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!}
$$
$$
y' = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}
$$
$$
y'' = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}
$$
将三个级数相加，注意指数覆盖了所有非负整数：
- 当指数为 $3n$ 时，来自 $y$
- 当指数为 $3n+1$ 时，来自 $y''$
- 当指数为 $3n+2$ 时，来自 $y'$
因此：
$$
y'' + y' + y = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^m}{m!} = e^x
$$
这就验证了 $y(x)$ 满足微分方程
$$
y'' + y' + y = e^x
$$
第四步：利用微分方程求幂级数的和函数
我们已知 $y(x)$ 是方程的解。该方程是二阶常系数线性非齐次微分方程。先解齐次方程：
$$
r^2 + r + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = -\frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i
$$
齐次通解为：
$$
y_h(x) = e^{-x/2}\left( C_1 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_2 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x \right)
$$
非齐次特解可设为 $y_p = A e^x$，代入：
$$
(A + A + A)e^x = e^x \quad\Rightarrow\quad 3A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = \frac13
$$
所以通解：
$$
y(x) = e^{-x/2}\left( C_1 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_2 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x \right) + \frac13 e^x
$$
第五步：由初始条件确定常数
由级数表达式：
$$
y(0) = 1, \quad y'(0) = 0, \quad y''(0) = 0
$$
代入通解：
- $y(0) = C_1 + \frac13 = 1 \Rightarrow C_1 = \frac23$
- 求导：
$$
y'(x) = -\frac12 e^{-x/2}\left( C_1 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_2 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x \right)
+ e^{-x/2}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}C_1 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}C_2 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x \right) + \frac13 e^x
$$
代入 $x=0$：
$$
y'(0) = -\frac12 C_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} C_2 + \frac13 = 0
$$
代入 $C_1 = \frac23$：
$$
-\frac12 \cdot \frac23 + \frac{\sqrt{3}}{2}C_2 + \frac13 = -\frac13 + \frac13 + \frac{\sqrt{3}}{2}C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0
$$
因此和函数为：
$$
\boxed{y(x) = \frac23 e^{-x/2} \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac13 e^x}
$$
难度：★★★☆☆
（涉及幂级数逐项求导、常微分方程求解、常数确定，步骤较多但思路清晰）