同济高数 第12章 第12-5-6题

[AI解答]

[AI解答]
我们先将函数 $e^{x} \cos x$ 用欧拉公式表示为指数形式。欧拉公式给出
$$
\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}.
$$
因此
$$
e^{x} \cos x = e^{x} \cdot \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}
= \frac{1}{2} \left[ e^{(1+i)x} + e^{(1-i)x} \right].
$$

现在分别将两个指数函数展开为 $x$ 的幂级数。已知指数函数的展开式为
$$
e^{a x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n x^n}{n!},
$$
因此
$$
e^{(1+i)x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n x^n}{n!}, \quad
e^{(1-i)x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-i)^n x^n}{n!}.
$$

于是
$$
e^{x} \cos x = \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{n!} x^n.
$$

接下来将 $(1+i)^n + (1-i)^n$ 化为实三角形式。注意到
$$
1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}, \quad 1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4},
$$
因此
$$
(1+i)^n = (\sqrt{2})^n e^{i n\pi/4}, \quad
(1-i)^n = (\sqrt{2})^n e^{-i n\pi/4}.
$$
相加得
$$
(1+i)^n + (1-i)^n = (\sqrt{2})^n \left( e^{i n\pi/4} + e^{-i n\pi/4} \right)
= 2 (\sqrt{2})^n \cos\frac{n\pi}{4}.
$$

代入级数表达式：
$$
e^{x} \cos x = \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 (\sqrt{2})^n \cos\frac{n\pi}{4}}{n!} x^n
= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\sqrt{2})^n \cos\frac{n\pi}{4}}{n!} x^n.
$$

因此，$e^{x}\cos x$ 展开成 $x$ 的幂级数为
$$
\boxed{e^{x}\cos x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n/2} \cos\frac{n\pi}{4}}{n!} x^n}.
$$

难度：★★☆☆☆