同济高数 第8章 第8-2-11题

教材习题

📝 题目

11．设有四面体 $O P Q R$（图8－28），其中 $\triangle O P Q, \triangle O Q R$ ， $\triangle O P R$ 和 $\triangle P Q R$ 的面积分别为 $A, B, C$ 和 $D$ ．试用向量方法证明如下三维空间中的勾股定理：

$$
A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2} .
$$

💡 答案解析

[AI解答]

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证明：
设四面体 $O P Q R$ 的顶点坐标分别为
$$
O = \mathbf{0},\quad P = \mathbf{p},\quad Q = \mathbf{q},\quad R = \mathbf{r}.
$$
则各面的面积可用向量积的模的一半表示。

1. 三角形 $OPQ$ 的面积为
$$
A = \frac{1}{2} \|\mathbf{p} \times \mathbf{q}\|.
$$
2. 三角形 $OQR$ 的面积为
$$
B = \frac{1}{2} \|\mathbf{q} \times \mathbf{r}\|.
$$
3. 三角形 $OPR$ 的面积为
$$
C = \frac{1}{2} \|\mathbf{r} \times \mathbf{p}\|.
$$
4. 三角形 $PQR$ 的面积为
$$
D = \frac{1}{2} \| (\mathbf{q} - \mathbf{p}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{p}) \|.
$$

展开最后一项：
$$
(\mathbf{q} - \mathbf{p}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{p})
= \mathbf{q} \times \mathbf{r} - \mathbf{q} \times \mathbf{p} - \mathbf{p} \times \mathbf{r} + \mathbf{p} \times \mathbf{p}.
$$
由于 $\mathbf{p} \times \mathbf{p} = \mathbf{0}$，且 $\mathbf{q} \times \mathbf{p} = -\mathbf{p} \times \mathbf{q}$，$\mathbf{p} \times \mathbf{r} = -\mathbf{r} \times \mathbf{p}$，因此
$$
(\mathbf{q} - \mathbf{p}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{p})
= \mathbf{q} \times \mathbf{r} + \mathbf{p} \times \mathbf{q} + \mathbf{r} \times \mathbf{p}.
$$
记
$$
\mathbf{a} = \mathbf{p} \times \mathbf{q},\quad \mathbf{b} = \mathbf{q} \times \mathbf{r},\quad \mathbf{c} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}.
$$
则
$$
(\mathbf{q} - \mathbf{p}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{p}) = \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}.
$$
于是
$$
D = \frac{1}{2} \|\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}\|.
$$

注意到 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 分别垂直于平面 $OPQ, OQR, OPR$，且由于这三个平面两两垂直（因四面体顶点在原点，三个坐标平面可视为相互垂直），故 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 相互正交。事实上，若取坐标系使 $O$ 为原点，且 $OP, OQ, OR$ 分别沿 $x, y, z$ 轴，则
$$
\mathbf{p} = (p,0,0),\quad \mathbf{q} = (0,q,0),\quad \mathbf{r} = (0,0,r),
$$
那么
$$
\mathbf{a} = \mathbf{p} \times \mathbf{q} = (0,0,pq),\quad
\mathbf{b} = \mathbf{q} \times \mathbf{r} = (qr,0,0),\quad
\mathbf{c} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = (0,rp,0),
$$
显然两两正交。因此
$$
\|\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 + \|\mathbf{c}\|^2.
$$
于是
$$
(2D)^2 = (2A)^2 + (2B)^2 + (2C)^2,
$$
即
$$
4D^2 = 4A^2 + 4B^2 + 4C^2,
$$
两边除以4得
$$
A^2 + B^2 + C^2 = D^2.
$$

证毕。

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设定顶点坐标
设四面体 O P Q R 的顶点坐标分别为 O = (0,0,0), P = p, Q = q, R = r。
提示：选择原点为 O 可简化计算。
步骤 2/5
目标：用向量积表示各三角形面积
三角形 OPQ 的面积 A = 1/2 ||p × q||；三角形 OQR 的面积 B = 1/2 ||q × r||；三角形 OPR 的面积 C = 1/2 ||r × p||；三角形 PQR 的面积 D = 1/2 ||(q-p) × (r-p)||。
公式：A = 1/2 ||p × q||, B = 1/2 ||q × r||, C = 1/2 ||r × p||, D = 1/2 ||(q-p) × (r-p)||
提示：面积公式：三角形面积等于两边向量叉积模的一半。
步骤 3/5
目标：展开三角形 PQR 的向量积
计算 (q-p) × (r-p) = q×r - q×p - p×r + p×p。由于 p×p=0，且 q×p = -p×q，p×r = -r×p，所以 (q-p)×(r-p) = q×r + p×q + r×p。记 a = p×q, b = q×r, c = r×p，则 (q-p)×(r-p) = a + b + c。
公式：(q-p)×(r-p) = a + b + c
提示：注意向量叉积的反交换律。
步骤 4/5
目标：证明 a, b, c 两两正交
取坐标系使 OP, OQ, OR 分别沿 x, y, z 轴，则 p=(p,0,0), q=(0,q,0), r=(0,0,r)。计算得 a = p×q = (0,0,pq), b = q×r = (qr,0,0), c = r×p = (0,rp,0)，显然两两正交。因此 ||a+b+c||^2 = ||a||^2 + ||b||^2 + ||c||^2。
公式：||a+b+c||^2 = ||a||^2 + ||b||^2 + ||c||^2
提示：正交向量的模平方和等于和的模平方。
步骤 5/5
目标：代入面积表达式并化简
由 D = 1/2 ||a+b+c||，得 (2D)^2 = ||a+b+c||^2 = ||a||^2 + ||b||^2 + ||c||^2 = (2A)^2 + (2B)^2 + (2C)^2，即 4D^2 = 4A^2 + 4B^2 + 4C^2，两边除以4得 A^2 + B^2 + C^2 = D^2。
公式：A^2 + B^2 + C^2 = D^2
提示：注意系数 1/2 的平方。

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