同济高数 第8章 第8-2-13题
📝 题目
13．试用向量证明不等式：
$$
\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}} \geqslant\left|a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}\right|
$$
其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 为任意实数，并指出等号成立的条件．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
本题要求用向量方法证明柯西-施瓦茨不等式在三维空间中的形式。
第一步：构造向量
设
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
则它们的模长分别为
$$
\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}, \quad \|\vec{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}
$$
内积为
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
$$
第二步：利用向量夹角公式
由向量内积的定义，有
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos\theta
$$
其中 $\theta$ 是两向量的夹角，且 $0 \le \theta \le \pi$。
第三步：取绝对值并放缩
由于 $|\cos\theta| \le 1$，可得
$$
|\vec{a} \cdot \vec{b}| = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \, |\cos\theta| \le \|\vec{a}\| \|\vec{b}\|
$$
代入具体表达式即为
$$
\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \ge |a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3|
$$
不等式得证。
第四步：等号成立条件
等号成立当且仅当 $|\cos\theta| = 1$，即 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$，此时两向量共线（平行或反平行）。
即存在实数 $\lambda$ 使得
$$
(a_1, a_2, a_3) = \lambda (b_1, b_2, b_3)
$$
或其中一个为零向量（此时也视为共线）。
因此，等号成立的条件是：向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 线性相关。