同济高数 第8章 第8-5-10题

[AI解答]

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10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：

旋转曲面是由一条平面曲线绕一条直线（旋转轴）旋转一周所形成的曲面。通常，若曲面方程中某两个变量的平方项系数相同，则曲面可由某个坐标平面内的曲线绕对应坐标轴旋转得到。

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（1）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1$

方程中 $y^2$ 与 $z^2$ 的系数相同（分母均为9），因此该曲面是由 $xOy$ 平面或 $xOz$ 平面内的曲线绕 $x$ 轴旋转而成。

取 $z=0$，得
$$
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
$$
这是 $xOy$ 平面内的椭圆。
绕 $x$ 轴旋转，得到旋转椭球面。

结论：由椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成。

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（2）$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$

方程中 $x^2$ 与 $z^2$ 系数相同（均为1），因此可由 $xOy$ 平面或 $yOz$ 平面内的曲线绕 $y$ 轴旋转而成。

取 $z=0$，得
$$
x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1
$$
这是 $xOy$ 平面内的双曲线。
绕 $y$ 轴旋转，得到旋转单叶双曲面。

结论：由双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 绕 $y$ 轴旋转而成。

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（3）$x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$

方程中 $y^2$ 与 $z^2$ 系数相同（均为 $-1$），因此可由 $xOy$ 平面或 $xOz$ 平面内的曲线绕 $x$ 轴旋转而成。

取 $z=0$，得
$$
x^{2}-y^{2}=1
$$
这是 $xOy$ 平面内的双曲线。
绕 $x$ 轴旋转，得到旋转双叶双曲面。

结论：由双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成。

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（4）$(z-a)^{2}=x^{2}+y^{2}$

方程中 $x^2$ 与 $y^2$ 系数相同，因此可由 $xOz$ 平面或 $yOz$ 平面内的曲线绕 $z$ 轴旋转而成。

取 $y=0$，得
$$
(z-a)^{2}=x^{2}
$$
即
$$
z-a = \pm x
$$
这是 $xOz$ 平面内两条相交直线。
绕 $z$ 轴旋转，得到圆锥面（顶点在 $(0,0,a)$，开口沿 $z$ 轴方向）。

结论：由直线 $z-a = \pm x$ 绕 $z$ 轴旋转而成。