同济高数 第8章 第8-5-11题
📝 题目
11．画出下列方程所表示的曲面：
（1） $4 x^{2}+y^{2}-z^{2}=4$ ；
（2）$x^{2}-y^{2}-4 z^{2}=4$ ；
（3）$\displaystyle \frac{z}{3}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） 方程
$$
4 x^{2}+y^{2}-z^{2}=4
$$
两边同时除以 4，得
$$
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{4}=1
$$
这是单叶双曲面（绕 $z$ 轴方向开口），标准形式为
$$
\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}-\frac{z^{2}}{2^{2}}=1
$$
在 $z=0$ 截口为椭圆 $\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$，在 $x=0$ 截口为双曲线 $\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{4}=1$，在 $y=0$ 截口为双曲线 $x^{2}-\frac{z^{2}}{4}=1$。
（2） 方程
$$
x^{2}-y^{2}-4 z^{2}=4
$$
两边除以 4，得
$$
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1
$$
这是双叶双曲面（沿 $x$ 轴方向开口），标准形式为
$$
\frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}-\frac{z^{2}}{1^{2}}=1
$$
在 $x=\pm 2$ 处截口为点，当 $|x|>2$ 时截口为椭圆，在 $x=0$ 无实图形，在 $y=0$ 截口为双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-z^{2}=1$，在 $z=0$ 截口为双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$。
（3） 方程
$$
\frac{z}{3}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}
$$
可改写为
$$
z=3\left(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\right)
$$
这是椭圆抛物面，顶点在原点 $(0,0,0)$，开口向上（沿 $z$ 轴正向）。
在 $z=c>0$ 处截口为椭圆
$$
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=\frac{c}{3}
$$
在 $x=0$ 截口为抛物线 $z=\frac{y^{2}}{3}$，在 $y=0$ 截口为抛物线 $z=\frac{3x^{2}}{4}$。