同济高数 第9章 第9-5-1题

[AI解答]

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已知方程
$$
\sin y + e^{x} - x y^{2} = 0,
$$
两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，因此使用隐函数求导法。

对第一项 $\sin y$ 求导：
$$
\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}.
$$

对第二项 $e^{x}$ 求导：
$$
\frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}.
$$

对第三项 $-x y^{2}$ 求导，使用乘法法则：
$$
\frac{d}{dx}(-x y^{2}) = -\left[1 \cdot y^{2} + x \cdot 2y \frac{dy}{dx}\right] = -y^{2} - 2xy \frac{dy}{dx}.
$$

将各项导数相加等于0（常数求导为0）：
$$
\cos y \cdot \frac{dy}{dx} + e^{x} - y^{2} - 2xy \frac{dy}{dx} = 0.
$$

将含 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 的项合并：
$$
(\cos y - 2xy) \frac{dy}{dx} + e^{x} - y^{2} = 0.
$$

移项：
$$
(\cos y - 2xy) \frac{dy}{dx} = y^{2} - e^{x}.
$$

因此
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - e^{x}}{\cos y - 2xy}.
$$

难度：★★☆☆☆
（基础隐函数求导，只需注意乘法法则与链式法则，无复杂变形）