同济高数 第9章 第9-5-11题

[AI解答]

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（1） 设方程组
$$
\begin{cases}
z = x^2 + y^2, \\
x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 20,
\end{cases}
$$
求 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$。

解：将两式分别对 $x$ 求导，注意 $y, z$ 是 $x$ 的函数。

由第一式：
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = 2x + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}. \tag{1}
$$

由第二式：
$$
2x + 4y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 6z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = 0. \tag{2}
$$

将 (1) 代入 (2)：
$$
2x + 4y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 6z \left( 2x + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right) = 0,
$$
即
$$
2x + 4y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 12xz + 12yz \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0.
$$

合并含 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的项：
$$
(4y + 12yz) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -2x - 12xz,
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{-2x(1 + 6z)}{4y(1 + 3z)} = -\frac{x(1+6z)}{2y(1+3z)}.
$$

再由 (1) 得：
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = 2x + 2y \cdot \left( -\frac{x(1+6z)}{2y(1+3z)} \right) = 2x - \frac{x(1+6z)}{1+3z}.
$$

通分：
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = \frac{2x(1+3z) - x(1+6z)}{1+3z} = \frac{2x + 6xz - x - 6xz}{1+3z} = \frac{x}{1+3z}.
$$

因此：
$$
\boxed{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -\frac{x(1+6z)}{2y(1+3z)}},\quad
\boxed{\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = \frac{x}{1+3z}}.
$$

---

（2） 设
$$
\begin{cases}
x + y + z = 0, \\
x^2 + y^2 + z^2 = 1,
\end{cases}
$$
求 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z}, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} z}$。

解：视 $x, y$ 为 $z$ 的函数，对 $z$ 求导。

第一式：
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -1. \tag{1}
$$

第二式：
$$
2x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} + 2z = 0 \quad\Rightarrow\quad x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -z. \tag{2}
$$

解线性方程组 (1)(2)，将 (1) 乘以 $y$ 得：
$$
y \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -y.
$$
减去 (2)：
$$
(y - x) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} = -y + z,
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} = \frac{z - y}{y - x}.
$$

同理，将 (1) 乘以 $x$ 得：
$$
x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -x,
$$
减去 (2)：
$$
(x - y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -x + z,
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = \frac{z - x}{x - y}.
$$

因此：
$$
\boxed{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} = \frac{z - y}{y - x}},\quad
\boxed{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = \frac{z - x}{x - y}}.
$$

---

（3） 设
$$
\begin{cases}
u = f(u x, v + y), \\
v = g(u - x, v^2 y),
\end{cases}
$$
其中 $f, g$ 具有一阶连续偏导数，求 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}$。

解：令 $F_1 = u - f(u x, v + y) = 0$，$F_2 = v - g(u - x, v^2 y) = 0$，对 $x$ 求偏导，视 $u, v$ 为 $x, y$ 的函数，此处 $y$ 视为常数。

对第一式两边关于 $x$ 求偏导：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = f_1 \cdot \left( u + x \frac{\partial u}{\partial x} \right) + f_2 \cdot \frac{\partial v}{\partial x},
$$
其中 $f_1 = \frac{\partial f}{\partial (ux)}$，$f_2 = \frac{\partial f}{\partial (v+y)}$。

整理得：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} - f_1 x \frac{\partial u}{\partial x} - f_2 \frac{\partial v}{\partial x} = f_1 u,
$$
即
$$
(1 - x f_1) \frac{\partial u}{\partial x} - f_2 \frac{\partial v}{\partial x} = f_1 u. \tag{1}
$$

对第二式关于 $x$ 求偏导：
$$
\frac{\partial v}{\partial x} = g_1 \cdot \left( \frac{\partial u}{\partial x} - 1 \right) + g_2 \cdot \left( 2v y \frac{\partial v}{\partial x} \right),
$$
其中 $g_1 = \frac{\partial g}{\partial (u-x)}$，$g_2 = \frac{\partial g}{\partial (v^2 y)}$。

整理得：
$$
\frac{\partial v}{\partial x} - g_1 \frac{\partial u}{\partial x} - 2v y g_2 \frac{\partial v}{\partial x} = -g_1,
$$
即
$$
- g_1 \frac{\partial u}{\partial x} + (1 - 2v y g_2) \frac{\partial v}{\partial x} = -g_1. \tag{2}
$$

解线性方程组 (1)(2)，系数行列式：
$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 - x f_1 & -f_2 \\
-g_1 & 1 - 2v y g_2
\end{vmatrix} = (1 - x f_1)(1 - 2v y g_2) - f_2 g_1.
$$

则：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{ \begin{vmatrix} f_1 u & -f_2 \\ -g_1 & 1 - 2v y g_2 \end{vmatrix} }{\Delta}
= \frac{ f_1 u (1 - 2v y g_2) - f_2 g_1 }{\Delta}.
$$

$$
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{ \begin{vmatrix} 1 - x f_1 & f_1 u \\ -g_1 & -g_1 \end{vmatrix} }{\Delta}
= \frac{ -(1 - x f_1)