同济高数 第9章 第9-5-4题

[AI解答]

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已知方程
$$
\frac{x}{z} = \ln \frac{z}{y}
$$
首先将其改写为隐函数形式：
$$
\frac{x}{z} - \ln \frac{z}{y} = 0
$$
令
$$
F(x, y, z) = \frac{x}{z} - \ln \frac{z}{y}
$$
则原方程即 $F(x, y, z) = 0$。

我们分别计算偏导数：

先对 $x$ 求偏导（将 $y,z$ 视为常数）：
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{z}
$$

对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial F}{\partial y} = -\frac{1}{z/y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{z}{y}\right)
= -\frac{y}{z} \cdot \left(-\frac{z}{y^2}\right) = \frac{1}{y}
$$
（注意 $\ln(z/y) = \ln z - \ln y$，直接对 $y$ 求导得 $-\frac{1}{y}$，结果一致。）

对 $z$ 求偏导：
$$
\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{x}{z} \right) - \frac{\partial}{\partial z}\left( \ln \frac{z}{y} \right)
= -\frac{x}{z^2} - \frac{1}{z/y} \cdot \frac{1}{y}
= -\frac{x}{z^2} - \frac{1}{z}
$$

由隐函数求导公式：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}}
= -\frac{\frac{1}{z}}{-\frac{x}{z^2} - \frac{1}{z}}
$$
化简分母：
$$
-\frac{x}{z^2} - \frac{1}{z} = -\frac{x + z}{z^2}
$$
因此
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\frac{1}{z}}{-\frac{x+z}{z^2}} = \frac{\frac{1}{z}}{\frac{x+z}{z^2}} = \frac{z}{x+z}
$$

同理，
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}}
= -\frac{\frac{1}{y}}{-\frac{x+z}{z^2}} = \frac{\frac{1}{y}}{\frac{x+z}{z^2}} = \frac{z^2}{y(x+z)}
$$

因此最终结果为：
$$
\boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z}{x+z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z^2}{y(x+z)}}
$$

难度：★★☆☆☆