同济高数 第9章 第9-5-8题
📝 题目
8．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $2 x z-2 x y z+\ln (x y z)=0$ 所确定的隐函数，求 $\mathrm{d} z$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知隐函数方程为
$$
2 x z - 2 x y z + \ln(x y z) = 0
$$
我们要求全微分 $\mathrm{d}z$。
步骤1：记函数形式
令
$$
F(x, y, z) = 2 x z - 2 x y z + \ln(x y z) = 0
$$
则 $z = z(x, y)$ 由 $F(x, y, z)=0$ 确定。
步骤2：求偏导数
先对 $x$ 求偏导（将 $z$ 视为 $x, y$ 的函数）：
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = 2z + 2x \frac{\partial z}{\partial x} - 2 y z - 2 x y \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{x y z} \cdot y z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{x y z} \cdot y z
$$
注意 $\ln(x y z)$ 对 $x$ 求导时，视 $z$ 为 $x$ 的函数，有
$$
\frac{\partial}{\partial x} \ln(x y z) = \frac{1}{x y z} \cdot \left( y z + x y \frac{\partial z}{\partial x} \right)
$$
因此
$$
F_x = 2z - 2 y z + \frac{1}{x} + \left( 2x - 2 x y + \frac{1}{z} \right) \frac{\partial z}{\partial x} = 0
$$
整理得
$$
\left( 2x(1 - y) + \frac{1}{z} \right) \frac{\partial z}{\partial x} = - \left( 2z(1 - y) + \frac{1}{x} \right)
$$
所以
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{2z(1 - y) + \frac{1}{x}}{2x(1 - y) + \frac{1}{z}}
$$
**步骤3：对 $y$ 求偏导**
同理，
$$
\frac{\partial F}{\partial y} = -2 x z - 2 x y \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{1}{x y z} \left( x z + x y \frac{\partial z}{\partial y} \right)
$$
即
$$
F_y = -2 x z + \frac{1}{y} + \left( -2 x y + \frac{1}{z} \right) \frac{\partial z}{\partial y} = 0
$$
因此
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{-2 x z + \frac{1}{y}}{-2 x y + \frac{1}{z}} = \frac{2 x z - \frac{1}{y}}{2 x y - \frac{1}{z}}
$$
步骤4：写出全微分
$$
\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y
$$
代入得
$$
\mathrm{d}z = - \frac{2z(1 - y) + \frac{1}{x}}{2x(1 - y) + \frac{1}{z}} \, \mathrm{d}x + \frac{2 x z - \frac{1}{y}}{2 x y - \frac{1}{z}} \, \mathrm{d}y
$$
难度评级：★★★☆☆
（涉及隐函数求偏导与全微分，需注意复合函数求导法则及分式化简，有一定计算量。）