同济高数 第9章 第9-5-*9题
📝 题目
＊9．设 $\mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知隐函数方程
$$
\mathrm{e}^{z} - x y z = 0,
$$
其中 $z = z(x,y)$ 由该方程确定。我们要求 $\displaystyle{\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}}$。
**第一步：对 $x$ 求一阶偏导**
将方程两边对 $x$ 求偏导，注意 $y$ 视为常数，$z$ 是 $x,y$ 的函数：
$$
\mathrm{e}^{z} \frac{\partial z}{\partial x} - y z - x y \frac{\partial z}{\partial x} = 0.
$$
整理得
$$
(\mathrm{e}^{z} - x y) \frac{\partial z}{\partial x} = y z.
$$
因此
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y}.
$$
**第二步：对 $x$ 求二阶偏导**
对 $\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial x}}$ 再对 $x$ 求偏导，使用商法则：
记
$$
u = y z, \quad v = \mathrm{e}^{z} - x y,
$$
则
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{ u_x v - u v_x }{v^{2}}.
$$
计算
$$
u_x = y \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y} = \frac{y^{2} z}{\mathrm{e}^{z} - x y}.
$$
$$
v_x = \mathrm{e}^{z} \frac{\partial z}{\partial x} - y = \mathrm{e}^{z} \cdot \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y} - y.
$$
代入商法则：
分子为
$$
u_x v - u v_x = \frac{y^{2} z}{\mathrm{e}^{z} - x y} \cdot (\mathrm{e}^{z} - x y) - y z \left( \frac{y z \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} - y \right).
$$
第一项化简为
$$
y^{2} z.
$$
第二项展开：
$$
- y z \cdot \frac{y z \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} + y z \cdot y
= - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} + y^{2} z.
$$
所以分子为
$$
y^{2} z + y^{2} z - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y}
= 2 y^{2} z - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y}.
$$
通分：
$$
\frac{2 y^{2} z (\mathrm{e}^{z} - x y) - y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y}
= \frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{\mathrm{e}^{z} - x y}.
$$
因此
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{ \displaystyle{\frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{\mathrm{e}^{z} - x y}} }{ (\mathrm{e}^{z} - x y)^{2} }
= \frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{(\mathrm{e}^{z} - x y)^{3}}.
$$
第三步：利用原方程化简
由原方程 $\mathrm{e}^{z} = x y z$，代入上式：
$$
\mathrm{e}^{z} - x y = x y z - x y = x y (z - 1).
$$
并且 $2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} = 2 x y (z-1) - z (x y z) = x y [2(z-1) - z^{2}]$。
于是
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{y^{2} z \cdot x y [2(z-1) - z^{2}]}{[x y (z-1)]^{3}}
= \frac{x y^{3} z (2z - 2 - z^{2})}{x^{3} y^{3} (z-1)^{3}}.
$$
约去 $y^{3}$，并注意 $x$ 约去一个因子：
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{z ( -z^{2} + 2z - 2)}{x^{2} (z-1)^{3}}.
$$
即
$$
\boxed{\displaystyle{\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -\frac{z(z^{2} - 2z + 2)}{x^{2}(z-1)^{3}}}}.
$$
难度：★★★★☆
（涉及隐函数求导、商法则、代入化简，过程较繁琐，需细心处理符号与代数变形）