同济高数 第9章 第9-7-5题
📝 题目
5．求函数 $u=x y z$ 在点 $(5,1,2)$ 处沿从点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，函数为
$u = x y z$，点 $P_0 = (5,1,2)$，方向取为从 $P_0$ 到 $Q = (9,4,14)$ 的方向。
第一步：计算方向向量及其单位向量
方向向量为
$$
\vec{l} = \overrightarrow{P_0Q} = (9-5,\ 4-1,\ 14-2) = (4,\ 3,\ 12).
$$
其模长为
$$
|\vec{l}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13.
$$
因此单位方向向量为
$$
\vec{l_0} = \left( \frac{4}{13},\ \frac{3}{13},\ \frac{12}{13} \right).
$$
第二步：计算梯度
函数 $u = xyz$ 的偏导数为
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = yz,\quad
\frac{\partial u}{\partial y} = xz,\quad
\frac{\partial u}{\partial z} = xy.
$$
在点 $(5,1,2)$ 处：
$$
\left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{(5,1,2)} = 1 \cdot 2 = 2,
$$
$$
\left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{(5,1,2)} = 5 \cdot 2 = 10,
$$
$$
\left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_{(5,1,2)} = 5 \cdot 1 = 5.
$$
所以梯度为
$$
\nabla u(5,1,2) = (2,\ 10,\ 5).
$$
第三步：方向导数公式
方向导数
$$
\frac{\partial u}{\partial \vec{l}} \bigg|_{P_0} = \nabla u(P_0) \cdot \vec{l_0}
= (2,\ 10,\ 5) \cdot \left( \frac{4}{13},\ \frac{3}{13},\ \frac{12}{13} \right).
$$
计算点积：
$$
2 \cdot \frac{4}{13} + 10 \cdot \frac{3}{13} + 5 \cdot \frac{12}{13}
= \frac{8}{13} + \frac{30}{13} + \frac{60}{13}
= \frac{98}{13}.
$$
因此方向导数为
$$
\boxed{\displaystyle \frac{98}{13}}.
$$
难度：★★☆☆☆