同济高数 第9章 第9-7-6题
📝 题目
6．求函数 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上点 $(1,1,1)$ 处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于 $t$ 增大的方向）的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，函数为
$$
u = x^2 + y^2 + z^2
$$
曲线参数方程为
$$
x = t,\quad y = t^2,\quad z = t^3
$$
点 $(1,1,1)$ 对应参数 $t=1$。
第一步：求曲线在该点的切向量（方向）
对参数方程求导：
$$
\frac{dx}{dt} = 1,\quad \frac{dy}{dt} = 2t,\quad \frac{dz}{dt} = 3t^2
$$
在 $t=1$ 处：
$$
\left(1,\;2,\;3\right)
$$
这就是切线正方向向量，记为
$$
\vec{l} = (1,2,3)
$$
**第二步：求函数 $u$ 的梯度**
梯度为
$$
\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x},\; \frac{\partial u}{\partial y},\; \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (2x,\;2y,\;2z)
$$
在点 $(1,1,1)$ 处：
$$
\nabla u(1,1,1) = (2,2,2)
$$
第三步：计算方向导数
方向导数的公式为
$$
\frac{\partial u}{\partial l} = \nabla u \cdot \frac{\vec{l}}{|\vec{l}|}
$$
先求切向量的模：
$$
|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}
$$
单位切向量为
$$
\left( \frac{1}{\sqrt{14}},\; \frac{2}{\sqrt{14}},\; \frac{3}{\sqrt{14}} \right)
$$
于是方向导数为
$$
\frac{\partial u}{\partial l} = (2,2,2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}} \right)
= \frac{2\cdot 1 + 2\cdot 2 + 2\cdot 3}{\sqrt{14}}
= \frac{2+4+6}{\sqrt{14}} = \frac{12}{\sqrt{14}}
$$
化简为
$$
\frac{12}{\sqrt{14}} = \frac{6\sqrt{14}}{7}
$$
因此，所求方向导数为
$$
\boxed{\dfrac{6\sqrt{14}}{7}}
$$
难度：★★☆☆☆