同济高数 第9章 第9-8-13题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求椭球面
$$
4x^{2}+y^{2}+4z^{2}=16
$$
上温度函数
$$
T(x,y,z)=8x^{2}+4yz-16z+600
$$
的最大值点。这是一个条件极值问题，用拉格朗日乘数法。

第一步：构造拉格朗日函数
约束条件为
$$
g(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-16=0
$$
令
$$
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=8x^{2}+4yz-16z+600+\lambda(4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-16)
$$

第二步：求偏导并令为零
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=16x+8\lambda x=0 \quad\Rightarrow\quad x(16+8\lambda)=0
$$
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=4z+2\lambda y=0 \quad\Rightarrow\quad 4z+2\lambda y=0
$$
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=4y-16+8\lambda z=0 \quad\Rightarrow\quad 4y-16+8\lambda z=0
$$
以及约束条件
$$
4x^{2}+y^{2}+4z^{2}=16
$$

第三步：分类讨论

由第一个方程：
若 $x=0$ 或 $\lambda=-2$。

- 情况1： $x=0$
则约束条件变为
$$
y^{2}+4z^{2}=16
$$
方程组剩下
$$
4z+2\lambda y=0 \quad (1)
$$
$$
4y-16+8\lambda z=0 \quad (2)
$$
由(1)得 $2\lambda y = -4z \Rightarrow \lambda = -\frac{2z}{y}$（若 $y\neq0$）。代入(2)：
$$
4y-16+8\left(-\frac{2z}{y}\right)z=0
$$
即
$$
4y-16-\frac{16z^{2}}{y}=0
$$
乘以 $y$：
$$
4y^{2}-16y-16z^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}-4y-4z^{2}=0
$$
又由约束 $y^{2}+4z^{2}=16$，两式相加得
$$
(y^{2}-4y-4z^{2})+(y^{2}+4z^{2})=16
$$
即
$$
2y^{2}-4y=16 \quad\Rightarrow\quad y^{2}-2y-8=0
$$
解得 $y=4$ 或 $y=-2$。

- 若 $y=4$，则 $16+4z^{2}=16 \Rightarrow z=0$，此时 $\lambda = -\frac{2\cdot0}{4}=0$。
得到候选点 $(0,4,0)$，温度
$$
T=8\cdot0+4\cdot4\cdot0-16\cdot0+600=600
$$

- 若 $y=-2$，则 $4+4z^{2}=16 \Rightarrow 4z^{2}=12 \Rightarrow z=\pm\sqrt{3}$。
对于 $z=\sqrt{3}$，$\lambda = -\frac{2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{3}$；
对于 $z=-\sqrt{3}$，$\lambda = -\frac{2(-\sqrt{3})}{-2}=-\sqrt{3}$。
计算温度：
当 $y=-2,z=\sqrt{3}$：
$$
T=0+4(-2)(\sqrt{3})-16\sqrt{3}+600 = -8\sqrt{3}-16\sqrt{3}+600=600-24\sqrt{3}
$$
当 $y=-2,z=-\sqrt{3}$：
$$
T=0+4(-2)(-\sqrt{3})-16(-\sqrt{3})+600 = 8\sqrt{3}+16\sqrt{3}+600=600+24\sqrt{3}
$$
数值上 $24\sqrt{3}\approx 41.569$，所以后者温度约 $641.569$。

另外若 $y=0$，由(1)得 $4z=0\Rightarrow z=0$，约束给出 $x=0$，得点$(0,0,0)$，但该点不满足椭球面方程（左边为0），排除。

- 情况2： $\lambda=-2$
则第一个方程自动满足，由第二个方程：
$$
4z+2(-2)y=0 \Rightarrow 4z-4y=0 \Rightarrow z=y
$$
第三个方程：
$$
4y-16+8(-2)z=0 \Rightarrow 4y-16-16z=0
$$
代入 $z=y$：
$$
4y-16-16y=0 \Rightarrow -12y=16 \Rightarrow y=-\frac{4}{3}
$$
于是 $z=-\frac{4}{3}$。约束条件：
$$
4x^{2}+\frac{16}{9}+4\cdot\frac{16}{9}=16 \Rightarrow 4x^{2}+\frac{16}{9}+\frac{64}{9}=16
$$
$$
4x^{2}+\frac{80}{9}=16 \Rightarrow 4x^{2}=16-\frac{80}{9}=\frac{144-80}{9}=\frac{64}{9}
$$
$$
x^{2}=\frac{16}{9} \Rightarrow x=\pm\frac{4}{3}
$$
得到两个点：$\left(\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)$ 和 $\left(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)$。
计算温度：
$$
T=8x^{2}+4\left(-\frac{4}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)-16\left(-\frac{4}{3}\right)+600
$$
$$
=8\cdot\frac{16}{9}+4\cdot\frac{16}{9}+\frac{64}{3}+600
$$
$$
=\frac{128}{9}+\frac{64}{9}+\frac{64}{3}= \frac{192}{9}+\frac{64}{3}= \frac{64}{3}+\frac{64}{3}=\frac{128}{3}\approx 42.667
$$
加上600得 $642.667$。

第四步：比较各候选点温度

- $(0,4,0)$：$600$
- $(-2,\sqrt{3})$：$600-24\sqrt{3}\approx 558.43$
- $(-2,-\sqrt{3})$：$600+24\sqrt{3}\approx 641.57$
- $\left(\pm\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)$：$600+\frac{128}{3}\approx 642.667$

因此最大值出现在
$$
\left(\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right),\quad \left(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)
$$
温度均为 $600+\frac{128}{3}$。

最终答案
$$
\boxed{\left(\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)\text{ 和 }\left(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)}
$$

难度：★★★☆☆