同济高数 第9章 第9-8-2题
📝 题目
2．求函数 $f(x, y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$ 的极值．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数
$$
f(x, y) = 4(x - y) - x^{2} - y^{2}
$$
的极值。
第一步：求驻点
先求一阶偏导数：
$$
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 4 - 2x
$$
$$
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = -4 - 2y
$$
令它们等于零：
$$
4 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2
$$
$$
-4 - 2y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -2
$$
得到唯一驻点 $(2, -2)$。
第二步：判断极值类型
计算二阶偏导数：
$$
\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -2,\quad
\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = -2,\quad
\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = 0
$$
构造判别式：
$$
\Delta = \left(\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right)
\left(\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right) -
\left(\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right)^{2}
= (-2)(-2) - 0^{2} = 4 > 0
$$
且 $\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -2 < 0$，因此该点为极大值点。
第三步：求极大值
代入驻点：
$$
f(2, -2) = 4(2 - (-2)) - 2^{2} - (-2)^{2}
= 4 \times 4 - 4 - 4 = 16 - 8 = 8
$$
所以函数在 $(2, -2)$ 处取得极大值 $8$，无极小值。
最终答案：
$$
\boxed{8}
$$
难度：★☆☆☆☆