同济高数 第9章 第9-8-3题
📝 题目
3．求函数 $f(x, y)=\left(6 x-x^{2}\right)\left(4 y-y^{2}\right)$ 的极值．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数
$$
f(x, y) = (6x - x^2)(4y - y^2)
$$
的极值。
第一步：求一阶偏导数并令其为零
先分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = (6 - 2x)(4y - y^2)
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = (6x - x^2)(4 - 2y)
$$
令它们等于零：
$$
(6 - 2x)(4y - y^2) = 0
$$
$$
(6x - x^2)(4 - 2y) = 0
$$
第二步：解方程组求驻点
由第一个方程得：
- 情况1: $6 - 2x = 0 \Rightarrow x = 3$
- 情况2: $4y - y^2 = 0 \Rightarrow y(4 - y) = 0 \Rightarrow y = 0$ 或 $y = 4$
由第二个方程得：
- 情况A: $6x - x^2 = 0 \Rightarrow x(6 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ 或 $x = 6$
- 情况B: $4 - 2y = 0 \Rightarrow y = 2$
组合所有情况得到驻点：
从情况1与情况B：$(3, 2)$
从情况1与情况A：$(3, 0)$ 和 $(3, 4)$ 但需检查是否满足第二个方程？
- 当 $x=3$，第二个方程变为 $(18 - 9)(4 - 2y) = 9(4 - 2y)=0$ 给出 $y=2$，所以 $(3,0)$ 和 $(3,4)$ 不满足第二个方程，除非我们考虑因式分解的另一种情况。我们需系统组合：
实际上，方程组等价于：
$$
(6-2x)(4y - y^2) = 0,\quad (6x - x^2)(4-2y) = 0
$$
所以可能的组合是：
1. $6-2x=0$ 且 $4-2y=0$ → $(3,2)$
2. $6-2x=0$ 且 $6x-x^2=0$ → 但 $x=3$ 时 $6x-x^2=9\neq0$，所以无解
3. $4y-y^2=0$ 且 $4-2y=0$ → $y=0$ 或 $4$ 与 $y=2$ 矛盾，无解
4. $4y-y^2=0$ 且 $6x-x^2=0$ → 即 $y=0$ 或 $4$，且 $x=0$ 或 $6$，得到四个点：$(0,0), (0,4), (6,0), (6,4)$
因此驻点为：
$$
(3,2),\quad (0,0),\quad (0,4),\quad (6,0),\quad (6,4)
$$
第三步：求二阶偏导数
$$
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(6-2x)(4y-y^2) = (-2)(4y - y^2)
$$
$$
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(6x-x^2)(4-2y) = (6x-x^2)(-2)
$$
$$
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(6-2x)(4y-y^2) = (6-2x)(4 - 2y)
$$
**第四步：用判别式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ 判断**
1. 在 $(3,2)$：
$f_{xx} = -2(8-4) = -2\cdot4 = -8$
$f_{yy} = (18-9)(-2) = 9\cdot(-2) = -18$
$f_{xy} = (6-6)(4-4)=0$
$D = (-8)(-18) - 0 = 144 > 0$，且 $f_{xx}<0$，所以是极大值点。
极大值：$f(3,2) = (18-9)(8-4) = 9 \cdot 4 = 36$
2. 在 $(0,0)$：
$f_{xx} = -2(0-0)=0$
$f_{yy} = (0-0)(-2)=0$
$f_{xy} = (6-0)(4-0)=24$
$D = 0 - 24^2 = -576 < 0$，鞍点。
3. 在 $(0,4)$：
$f_{xx} = -2(16-16)=0$
$f_{yy} = (0-0)(-2)=0$
$f_{xy} = (6-0)(4-8)=6\cdot(-4)=-24$
$D = 0 - (-24)^2 = -576 < 0$，鞍点。
4. 在 $(6,0)$：
$f_{xx} = -2(0-0)=0$
$f_{yy} = (36-36)(-2)=0$
$f_{xy} = (6-12)(4-0)=(-6)\cdot4=-24$
$D = -576 < 0$，鞍点。
5. 在 $(6,4)$：
$f_{xx} = -2(16-16)=0$
$f_{yy} = (36-36)(-2)=0$
$f_{xy} = (6-12)(4-8)=(-6)(-4)=24$
$D = -576 < 0$，鞍点。
结论：
函数有唯一极大值点 $(3,2)$，极大值为 $36$，其余驻点均为鞍点。
难度评级：★★☆☆☆
（计算量中等，但思路清晰，属于典型二元函数极值问题）