同济高数 第1章 第1-3-*8题

[AI解答]

[AI解答]

我们已知函数
$$
y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}
$$
且当 $x \to \infty$ 时，$y \to 1$。
要求找出一个正数 $X$，使得当 $|x| > X$ 时，有
$$
|y - 1| < 0.01.
$$

首先计算差值：
$$
y - 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3} - 1
= \frac{x^2 - 1 - (x^2 + 3)}{x^2 + 3}
= \frac{-4}{x^2 + 3}.
$$

因此
$$
|y - 1| = \frac{4}{x^2 + 3}.
$$

我们要使
$$
\frac{4}{x^2 + 3} < 0.01.
$$

解这个不等式：
$$
\frac{4}{x^2 + 3} < \frac{1}{100}
$$
两边取倒数（注意分母为正）：
$$
x^2 + 3 > 400
$$
即
$$
x^2 > 397.
$$

所以
$$
|x| > \sqrt{397}.
$$

计算近似值：
$$
\sqrt{397} \approx 19.9249.
$$

因此，取
$$
X = \sqrt{397} \quad \text{或取整为 } X = 20
$$
即可保证当 $|x| > X$ 时，有 $|y - 1| < 0.01$。

最终答案：
$$
\boxed{X = \sqrt{397}}
$$