同济高数 第1章 第1-3-*9题
📝 题目
＊9．证明函数 $f(x)=|x|$ 当 $x \rightarrow 0$ 时极限为零．
${ }^{*}$ 10．证明：若 $x \rightarrow+\infty$ 及 $x \rightarrow-\infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限都存在且都等于 $A$ ，则
$$
\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)=A
$$
💡 答案解析
[AI解答]
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习题1-3 第9题
证明函数 $ f(x) = |x| $ 当 $ x \to 0 $ 时极限为零。
证明：
要证明 $\lim_{x \to 0} |x| = 0$，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - 0| < \delta$ 时，有
$$
|\,|x| - 0\,| < \varepsilon.
$$
由于 $|\,|x|\,| = |x|$，所以条件等价于
$$
|x| < \varepsilon.
$$
因此，取 $\delta = \varepsilon$，则当 $0 < |x| < \delta$ 时，显然有 $|x| < \varepsilon$ 成立。
由极限定义可知
$$
\lim_{x \to 0} |x| = 0.
$$
证毕。
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习题1-3 第10题
证明：若 $x \to +\infty$ 及 $x \to -\infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限都存在且都等于 $A$，则
$$
\lim_{x \to \infty} f(x) = A.
$$
证明：
由条件知：
1. 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X_1 > 0$，使得当 $x > X_1$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$；
2. 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X_2 > 0$，使得当 $x < -X_2$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
取 $X = \max\{X_1, X_2\}$，则当 $|x| > X$ 时，有 $x > X \ge X_1$ 或 $x < -X \le -X_2$，两种情况均满足 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
由 $x \to \infty$ 的极限定义，即得
$$
\lim_{x \to \infty} f(x) = A.
$$
证毕。