同济高数 第1章 第1-5-1题

[AI解答]

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以下为各极限的详细计算过程。

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（1）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}$
代入 $x=2$：
分子 $2^2+5=9$，分母 $2-3=-1$，极限为 $\displaystyle \frac{9}{-1}=-9$。
所以
$$
\boxed{-9}
$$

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（2）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \sqrt{3}} \frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}$
代入 $x=\sqrt{3}$：
分子 $3-3=0$，分母 $3+1=4$，极限为 $0$。
$$
\boxed{0}
$$

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（3）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-1}$
分子因式分解：$(x-1)^2$，分母：$(x-1)(x+1)$，约去 $x-1$（$x\neq 1$）：
$$
\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0}{2}=0
$$
$$
\boxed{0}
$$

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（4）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}$
分子分母提取 $x$：
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x(4x^{2}-2x+1)}{x(3x+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{4x^{2}-2x+1}{3x+2}=\frac{1}{2}
$$
$$
\boxed{\frac{1}{2}}
$$

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（5）
$\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$
展开分子：$x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}$，除以 $h$ 得 $2x+h$，极限为 $2x$。
$$
\boxed{2x}
$$

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（6）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$
当 $x\to\infty$，$\displaystyle \frac{1}{x}\to 0$，$\displaystyle \frac{1}{x^{2}}\to 0$，极限为 $2$。
$$
\boxed{2}
$$

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（7）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}$
分子分母同除以 $x^{2}$：
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{2}
$$
$$
\boxed{\frac{1}{2}}
$$

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（8）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{4}-3x^{2}+1}$
分子最高次 $x^{2}$，分母 $x^{4}$，故极限为 $0$。
$$
\boxed{0}
$$

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（9）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-6x+8}{x^{2}-5x+4}$
因式分解：分子 $(x-2)(x-4)$，分母 $(x-1)(x-4)$，约去 $x-4$：
$$
\lim_{x\to 4}\frac{x-2}{x-1}=\frac{2}{3}
$$
$$
\boxed{\frac{2}{3}}
$$

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（10）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^{2}}\right)$
当 $x\to\infty$，$\displaystyle 1+\frac{1}{x}\to 1$，$\displaystyle 2-\frac{1}{x^{2}}\to 2$，乘积为 $2$。
$$
\boxed{2}
$$

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（11）
$\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$
这是等比数列求和：首项 $1$，公比 $\displaystyle \frac{1}{2}$，和 $\displaystyle S_n = \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} = 2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)$，当 $n\to\infty$，极限为 $2$。
$$
\boxed{2}
$$

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（12）
$\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^{2}}$
分子和为 $\displaystyle \frac{(n-1)n}{2}$，故
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)}{2n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}
$$
$$
\boxed{\frac{1}{2}}
$$

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（13）
$\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^{3}}$
展开分子最高次 $n^{3}$，系数 $1$，故极限为 $\displaystyle \frac{1}{5}$。
$$
\boxed{\frac{1}{5}}
$$

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（14）
$\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$
注意到 $1-x^{3}=(1-x)(1+x+x^{2})$，通分：
$$
\frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^{2})}=\frac{1+x+x^{2}-3}{(1-x)(1+x+x^{2})}=\frac{x^{2}+x-2}{(1-x)(1+x+x^{2})}
$$
分子因式分解：$(x-1)(x+2)$，分母 $(1-x)(1+x+x^{2})=-(x-1)(1+x+x^{2})$，约去 $x-1$：
$$
\lim_{x\to 1}\frac{x+2}{-(1+x+x^{2})}=\frac{3}{-3}=-1
$$
$$
\boxed{-1}
$$

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难度评级：★☆☆☆☆
所有极限均为基本初等函数或简单有理函数、数列极限，只需代入、因式分解或抓大头即可求解。