同济高数 第1章 第1-5-2题
📝 题目
2．计算下列极限：
（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+2 x^{2}}{(x-2)^{2}}$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2 x+1}$ ；
（3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2 x^{3}-x+1\right)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细求解过程：
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（1）
$$
\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+2 x^{2}}{(x-2)^{2}}
$$
先代入 $x=2$：
分子：$2^3 + 2 \cdot 2^2 = 8 + 8 = 16$，分母：$(2-2)^2 = 0$，因此为 $\frac{16}{0}$ 型，极限为无穷大。
进一步分析符号：当 $x \to 2$ 时，分母 $(x-2)^2 > 0$，分子趋于正数 $16$，故极限为 $+\infty$。
因此：
$$
\boxed{+\infty}
$$
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（2）
$$
\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2 x+1}
$$
此为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，分子最高次为 $x^2$，分母最高次为 $x$，故极限为无穷大。
具体做法：分子分母同除以 $x$：
$$
\displaystyle{\lim}_{x \to \infty} \frac{x}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{\infty}{2} = +\infty
$$
因此：
$$
\boxed{+\infty}
$$
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（3）
$$
\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2 x^{3}-x+1\right)
$$
当 $x \to \infty$ 时，$2x^3$ 是主导项，趋向 $+\infty$，因此：
$$
\boxed{+\infty}
$$
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难度评级：★☆☆☆☆
均为直接代入或简单比较最高次幂即可得出无穷大结果，属于基础极限题。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算极限 (1)
代入 x=2，分子为 2^3+2*2^2=16，分母为 0，且分母平方为正，故极限为 +∞。
提示：分母为0且分子非零时，极限为无穷大，注意符号。
步骤 2/3
目标：计算极限 (2)
分子分母同除以 x，得 lim(x→∞) x/(2+1/x) = ∞/2 = +∞。
提示：∞/∞型，比较最高次幂，分子次数高则极限为无穷大。
步骤 3/3
目标：计算极限 (3)
当 x→∞ 时，2x^3 主导，趋向 +∞。
提示：多项式极限由最高次项决定。
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