同济高数 第2章 第2-1-15题
📝 题目
15．在抛物线 $y=x^{2}$ 上取横坐标为 $x_{1}=1$ 及 $x_{2}=3$ 的两点，作过这两点的割线．问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？
💡 答案解析
[AI解答]
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步骤1：确定割线的斜率
已知抛物线方程为 $ y = x^2 $。
取横坐标 $ x_1 = 1 $ 和 $ x_2 = 3 $ 的两点：
点 $ A(1, 1) $，点 $ B(3, 9) $。
割线 $ AB $ 的斜率为：
$$
k_{\text{割}} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4.
$$
步骤2：求抛物线的切线斜率
抛物线 $ y = x^2 $ 的导数为：
$$
y' = 2x.
$$
设抛物线上点 $ (x_0, x_0^2) $ 处的切线平行于割线，则切线斜率等于割线斜率：
$$
2x_0 = 4.
$$
步骤3：解出切点坐标
由 $ 2x_0 = 4 $ 得：
$$
x_0 = 2.
$$
代入抛物线方程得：
$$
y_0 = 2^2 = 4.
$$
因此所求点为 $ (2, 4) $。
最终答案：
$$
\boxed{(2,4)}
$$
难度评级：★☆☆☆☆
（直接应用导数几何意义，计算简单，属于基础题）
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定割线的斜率
已知抛物线方程为 y = x^2。取横坐标 x1=1 和 x2=3 的两点：点 A(1,1)，点 B(3,9)。割线 AB 的斜率为 (9-1)/(3-1)=8/2=4。
公式：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)
提示：注意计算准确
步骤 2/3
目标：求抛物线的切线斜率
抛物线 y = x^2 的导数为 y' = 2x。设抛物线上点 (x0, x0^2) 处的切线平行于割线，则切线斜率等于割线斜率：2x0 = 4。
公式：y' = 2x
提示：导数表示切线斜率
步骤 3/3
目标：解出切点坐标
由 2x0 = 4 得 x0 = 2。代入抛物线方程得 y0 = 2^2 = 4。因此所求点为 (2,4)。
提示：代入原方程求纵坐标
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