同济高数 第2章 第2-1-16题

[AI解答]

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我们分别讨论两个函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性。

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（1）$y = |\sin x|$

连续性：
由于 $\sin x$ 在 $x=0$ 处连续，且绝对值函数是连续函数，复合函数 $|\sin x|$ 在 $x=0$ 处也连续。
更严格地，
$$
\lim_{x \to 0} |\sin x| = |\sin 0| = 0 = y(0)
$$
所以连续。

可导性：
考虑导数定义：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{|\sin x| - |\sin 0|}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x}
$$
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x > 0$，所以 $|\sin x| = \sin x$，极限为：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
当 $x \to 0^-$ 时，$\sin x < 0$，所以 $|\sin x| = -\sin x$，极限为：
$$
\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1
$$
左右导数不相等，因此在 $x=0$ 处不可导。

结论：连续，但不可导。

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（2）$y = \begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 \end{cases}$

连续性：
当 $x \neq 0$ 时，函数由初等函数构成，只需考虑 $x \to 0$ 的极限：
$$
\lim_{x \to 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}
$$
由于 $|\sin(1/x)| \leq 1$，有：
$$
0 \leq |x^{2} \sin \frac{1}{x}| \leq x^{2} \to 0
$$
由夹逼准则得：
$$
\lim_{x \to 0} x^{2} \sin \frac{1}{x} = 0 = y(0)
$$
所以连续。

可导性：
用导数定义：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}
$$
同样，$|\sin(1/x)| \leq 1$，所以：
$$
0 \leq |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0
$$
由夹逼准则得极限为 0，因此导数存在且为 0。

结论：连续且可导。

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难度评级：★★☆☆☆