同济高数 第2章 第2-1-8题

[AI解答]

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题目：设 $ f(x) $ 可导，$ F(x) = f(x)(1 + |\sin x|) $，则 $ f(0)=0 $ 是 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导的什么条件？

第一步：分析可导性条件
由于 $ f(x) $ 可导，则 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续且可导。
而 $ |\sin x| $ 在 $ x=0 $ 处不可导（因为左右导数符号相反），因此 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 的可导性取决于乘积中绝对值部分的影响。

**第二步：用导数定义考察 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 的可导性**
$$
F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x - 0}
= \lim_{x \to 0} \frac{f(x)(1+|\sin x|) - f(0)(1+|\sin 0|)}{x}
$$
由于 $ |\sin 0| = 0 $，所以 $ F(0) = f(0) $。于是
$$
F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)(1+|\sin x|) - f(0)}{x}
$$

第三步：将分子拆项处理
$$
F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{f(x)|\sin x|}{x}
$$
第一个极限就是 $ f'(0) $。
第二个极限需要分左右讨论：

- 当 $ x \to 0^+ $ 时，$ |\sin x| = \sin x $，则
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)\sin x}{x} = \lim_{x \to 0^+} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x} = f(0) \cdot 1 = f(0)
$$
- 当 $ x \to 0^- $ 时，$ |\sin x| = -\sin x $，则
$$
\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)(-\sin x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} -f(x) \cdot \frac{\sin x}{x} = -f(0) \cdot 1 = -f(0)
$$

第四步：左右导数相等条件
左右导数分别为：
$$
F'_+(0) = f'(0) + f(0), \quad F'_-(0) = f'(0) - f(0)
$$
要使 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 可导，必须 $ F'_+(0) = F'_-(0) $，即
$$
f'(0) + f(0) = f'(0) - f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0
$$
并且此时 $ F'(0) = f'(0) $。

第五步：充分性与必要性判断
- 若 $ f(0)=0 $，则左右导数相等，$ F(x) $ 在 $ x=0 $ 可导，因此是充分的。
- 若 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 可导，则必须 $ f(0)=0 $，因此也是必要的。

所以 $ f(0)=0 $ 是 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导的 充分必要条件。

最终答案：选（A）

难度：★★☆☆☆