同济高数 第2章 第2-1-9题
📝 题目
9．求下列函数的导数：
（1）$y=x^{4}$ ；
（2）$y=\sqrt[3]{x^{2}}$ ；
（3）$y=x^{1.6}$ ；
（4）$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ；
（5）$\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}}$ ；
（6）$y=x^{3} \sqrt[5]{x}$ ；
（7）$\displaystyle y=\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{x^{5}}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们使用幂函数求导公式：若 $y = x^n$，则 $y' = n x^{n-1}$。
以下逐题求解。
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（1）$y = x^{4}$
$$
y' = 4x^{4-1} = 4x^{3}
$$
（2）$y = \sqrt[3]{x^{2}} = x^{\frac{2}{3}}$
$$
y' = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}
$$
（3）$y = x^{1.6}$
$$
y' = 1.6 x^{1.6-1} = 1.6 x^{0.6}
$$
（4）$y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$
$$
y' = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}
$$
（5）$y = \frac{1}{x^{2}} = x^{-2}$
$$
y' = -2 x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}
$$
（6）$y = x^{3} \sqrt[5]{x} = x^{3} \cdot x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{16}{5}}$
$$
y' = \frac{16}{5} x^{\frac{16}{5} - 1} = \frac{16}{5} x^{\frac{11}{5}} = \frac{16}{5} x^{2.2}
$$
（7）$y = \frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{x^{5}}}$
先化简：
分子：$x^{2} \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{8}{3}}$
分母：$\sqrt{x^{5}} = x^{\frac{5}{2}}$
所以
$$
y = x^{\frac{8}{3} - \frac{5}{2}} = x^{\frac{16}{6} - \frac{15}{6}} = x^{\frac{1}{6}}
$$
求导：
$$
y' = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6 \sqrt[6]{x^{5}}}
$$
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难度评级：★☆☆☆☆
（全部为幂函数直接求导，仅需掌握基本公式与指数化简）