同济高数 第2章 第2-5-2题

[AI解答]

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本题要求根据函数 $y=f(x)$ 的图形，在点 $x_0$ 处标出微分 $\mathrm{d}y$、增量 $\Delta y$ 以及它们的差 $\Delta y - \mathrm{d}y$，并说明正负。我们利用微分的几何意义：在点 $x_0$ 处，$\Delta y$ 是函数值的实际增量（纵坐标的变化），$\mathrm{d}y$ 是切线纵坐标的增量（即 $f'(x_0)\Delta x$），而 $\Delta y - \mathrm{d}y$ 是函数曲线与切线之间的“竖直差距”。

设 $\Delta x > 0$（图中通常向右取增量），则：

- 图 (a)：曲线在 $x_0$ 附近是凸函数（上凸，即二阶导数 $f''(x_0)<0$），切线位于曲线上方。此时：
- $\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$，对应曲线上的纵坐标差，正。
- $\mathrm{d}y = f'(x_0)\Delta x$，对应切线上的纵坐标差，正。
- 由于切线在上，$\mathrm{d}y > \Delta y$，所以 $\Delta y - \mathrm{d}y$ 为负。

- 图 (b)：曲线在 $x_0$ 附近是凹函数（下凸，即 $f''(x_0)>0$），切线位于曲线下方。此时：
- $\Delta y > 0$，正。
- $\mathrm{d}y > 0$，正。
- 由于曲线在上，$\Delta y > \mathrm{d}y$，所以 $\Delta y - \mathrm{d}y$ 为正。

- 图 (c)：曲线在 $x_0$ 附近递减且上凸（$f'(x_0)<0$，$f''(x_0)<0$），切线在上方。此时：
- $\Delta y < 0$（因为函数下降），负。
- $\mathrm{d}y < 0$（切线也下降），负。
- 切线在上方意味着 $\mathrm{d}y$ 的绝对值更大（下降更快），即 $\mathrm{d}y < \Delta y < 0$，所以 $\Delta y - \mathrm{d}y > 0$，为正。

- 图 (d)：曲线在 $x_0$ 附近递减且下凸（$f'(x_0)<0$，$f''(x_0)>0$），切线在下方。此时：
- $\Delta y < 0$，负。
- $\mathrm{d}y < 0$，负。
- 曲线在下方意味着 $\Delta y$ 的绝对值更大（下降更快），即 $\Delta y < \mathrm{d}y < 0$，所以 $\Delta y - \mathrm{d}y < 0$，为负。

图示标法说明（在图中对应位置标出）：
- 在 $x_0$ 处作切线。
- 从 $x_0$ 到 $x_0+\Delta x$，曲线上的纵坐标差为 $\Delta y$（用带箭头的竖直线段表示，从 $(x_0, f(x_0))$ 到 $(x_0+\Delta x, f(x_0+\Delta x))$）。
- 切线上的纵坐标差为 $\mathrm{d}y$（从 $(x_0, f(x_0))$ 到 $(x_0+\Delta x, f(x_0)+f'(x_0)\Delta x)$）。
- 两者之差 $\Delta y - \mathrm{d}y$ 即为曲线与切线在 $x_0+\Delta x$ 处的竖直距离（带正负号）。

总结正负表：

| 图形 | $\Delta y$ | $\mathrm{d}y$ | $\Delta y - \mathrm{d}y$ |
|------|------------|--------------|--------------------------|
| (a) | 正 | 正 | 负 |
| (b) | 正 | 正 | 正 |
| (c) | 负 | 负 | 正 |
| (d) | 负 | 负 | 负 |

难度：★★☆☆☆