同济高数 第2章 第2-5-4题
📝 题目
4．将适当的函数填人下列括号内，使等式成立：
（1） $\mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x$ ；
（3） $\mathrm{d}(\quad)=\cos t \mathrm{~d} t$ ；
（4）$d(\quad)=\sin \omega x d x \quad(\omega \neq 0)$ ；
（5） $\displaystyle \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ；
（6） $\mathrm{d}(\quad)=\mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ ；
（7） $\displaystyle \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ；
（8） $\mathrm{d}(\quad)=\sec ^{2} 3 x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
本题要求找到函数 $F(x)$ 或 $F(t)$，使得其微分等于给定的表达式，即求原函数（不定积分）。
(1)
$$
\mathrm{d}(\quad)=2\,\mathrm{d}x
$$
由 $\displaystyle{\int 2\,\mathrm{d}x = 2x + C}$，故填 $2x + C$（通常取 $C=0$ 时最简单形式）。
因此：$\mathrm{d}(2x) = 2\,\mathrm{d}x$。
(2)
$$
\mathrm{d}(\quad)=3x\,\mathrm{d}x
$$
$\displaystyle{\int 3x\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}x^{2} + C}$，故填 $\frac{3}{2}x^{2}$。
(3)
$$
\mathrm{d}(\quad)=\cos t\,\mathrm{d}t
$$
$\displaystyle{\int \cos t\,\mathrm{d}t = \sin t + C}$，故填 $\sin t$。
(4)
$$
\mathrm{d}(\quad)=\sin \omega x\,\mathrm{d}x \quad (\omega \neq 0)
$$
$\displaystyle{\int \sin \omega x\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{\omega}\cos \omega x + C}$，故填 $-\frac{1}{\omega}\cos \omega x$。
(5)
$$
\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x
$$
$\displaystyle{\int \frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x = \ln|1+x| + C}$，故填 $\ln|1+x|$。
(6)
$$
\mathrm{d}(\quad)=\mathrm{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x
$$
$\displaystyle{\int \mathrm{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x} + C}$，故填 $-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}$。
(7)
$$
\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x
$$
将 $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$，$\displaystyle{\int x^{-1/2}\,\mathrm{d}x = 2\sqrt{x} + C}$，故填 $2\sqrt{x}$。
(8)
$$
\mathrm{d}(\quad)=\sec^{2}3x\,\mathrm{d}x
$$
$\displaystyle{\int \sec^{2}3x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\tan 3x + C}$，故填 $\frac{1}{3}\tan 3x$。
最终答案（取最简单形式，省略常数 $C$）：
(1) $2x$
(2) $\frac{3}{2}x^{2}$
(3) $\sin t$
(4) $-\frac{1}{\omega}\cos \omega x$
(5) $\ln|1+x|$
(6) $-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}$
(7) $2\sqrt{x}$
(8) $\frac{1}{3}\tan 3x$
难度：★☆☆☆☆