同济高数 第3章 第3-4-5题
📝 题目
5．证明下列不等式：
（1）当 $x\gt 0$ 时， $\displaystyle 1+\frac{1}{2} x\gt \sqrt{1+x}$ ；
（2）当 $x\gt 0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\gt \sqrt{1+x^{2}}$ ；
（3）当 $\displaystyle 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\sin x+\tan x\gt 2 x$ ；
（4）当 $\displaystyle 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x\gt x+\frac{1}{3} x^{3}$ ；
（5）当 $x\gt 4$ 时， $2^{x}\gt x^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们依次证明各小题的不等式。主要方法：构造函数，利用导数判断单调性，并结合端点值得到不等式。
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（1）当 $x>0$ 时，$1+\frac{1}{2}x > \sqrt{1+x}$
令
$$
f(x)=1+\frac{1}{2}x-\sqrt{1+x},\quad x>0
$$
求导：
$$
f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{1+x}}
= \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+x}}\right)
$$
当 $x>0$ 时，$\sqrt{1+x}>1$，所以 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}<1$，从而 $f'(x)>0$，
即 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 严格递增。
又
$$
f(0)=1+0-1=0
$$
所以当 $x>0$ 时，$f(x)>0$，即
$$
1+\frac{1}{2}x > \sqrt{1+x}
$$
得证。
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（2）当 $x>0$ 时，$1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2}) > \sqrt{1+x^2}$
令
$$
g(x)=1+x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\sqrt{1+x^2}
$$
求导：注意 $\displaystyle{}\frac{d}{dx}\ln(x+\sqrt{1+x^2})=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，
所以
$$
g'(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+x\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
= \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)
$$
当 $x>0$ 时，$x+\sqrt{1+x^2}>1$，故 $\ln(\cdots)>0$，即 $g'(x)>0$，
因此 $g(x)$ 严格递增。又
$$
g(0)=1+0-1=0
$$
所以当 $x>0$ 时，$g(x)>0$，原不等式成立。
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（3）当 $0 2x$
令
$$
h(x)=\sin x+\tan x-2x
$$
求导：
$$
h'(x)=\cos x+\sec^2 x-2
$$
再求导：
$$
h''(x)=-\sin x+2\sec^2 x\tan x
= -\sin x+2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}
= -\sin x+\frac{2\sin x}{\cos^3 x}
= \sin x\left(\frac{2}{\cos^3 x}-1\right)
$$
当 $0
从而 $h''(x)>0$，即 $h'(x)$ 严格递增。
又
$$
h'(0)=\cos0+\sec^20-2=1+1-2=0
$$
所以当 $x>0$ 时，$h'(x)>0$，即 $h(x)$ 严格递增。
又 $h(0)=0$，故在区间内 $h(x)>0$，原不等式成立。
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（4）当 $0 x+\frac{1}{3}x^3$
令
$$
p(x)=\tan x - x - \frac{1}{3}x^3
$$
求导：
$$
p'(x)=\sec^2 x -1 - x^2 = \tan^2 x - x^2
$$
再求导：
$$
p''(x)=2\tan x \sec^2 x - 2x
= 2\tan x (1+\tan^2 x)-2x
$$
当 $x>0$ 时，$\tan x > x$，且 $1+\tan^2 x>1$，所以
$$
p''(x)>2x\cdot1-2x=0
$$
因此 $p'(x)$ 严格递增。又 $p'(0)=0$，所以当 $x>0$ 时 $p'(x)>0$，
从而 $p(x)$ 严格递增，且 $p(0)=0$，故 $p(x)>0$，不等式成立。
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（5）当 $x>4$ 时，$2^x > x^2$
取自然对数，等价于证明
$$
x\ln 2 > 2\ln x
$$
令
$$
q(x)=x\ln 2 - 2\ln x,\quad x>4
$$
求导：
$$
q'(x)=\ln 2 - \frac{2}{x}
$$
当 $x>4$ 时，$\frac{2}{x}<\frac{1}{2}$，而 $\ln 2 \approx 0.693 > 0.5$，所以 $q'(x)>0$，
因此 $q(x)$ 严格递增。又
$$
q(4)=4\ln 2 - 2\ln 4 = 4\ln 2 - 4\ln 2 = 0
$$
故当 $x>4$ 时，$q(x)>0$，即原不等式成立。
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难度评级：★★☆☆☆
（均为利用导数证明单调性的常规题型，计算量不大，但需注意细节）