同济高数 第3章 第3-4-6题
📝 题目
6．讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a\gt 0$ ）有几个实根．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们讨论方程
$$
\ln x = a x, \quad a > 0
$$
的实根个数。
首先，定义函数
$$
f(x) = \ln x - a x, \quad x > 0.
$$
求导得
$$
f'(x) = \frac{1}{x} - a.
$$
令 $ f'(x) = 0 $ 得
$$
\frac{1}{x} - a = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{a}.
$$
当 $ 0 < x < \frac{1}{a} $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数单调递增；
当 $ x > \frac{1}{a} $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数单调递减。
因此 $ x = \frac{1}{a} $ 是极大值点，极大值为
$$
f\!\left(\frac{1}{a}\right) = \ln\frac{1}{a} - a \cdot \frac{1}{a} = -\ln a - 1.
$$
另外，考虑端点极限：
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\ln x - a x) = -\infty,
$$
$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (\ln x - a x) = -\infty.
$$
因此，实根个数取决于极大值的符号：
1. 若 $ f\!\left(\frac{1}{a}\right) > 0 $，即
$$
-\ln a - 1 > 0 \quad\Rightarrow\quad \ln a < -1 \quad\Rightarrow\quad 0 < a < \frac{1}{e},
$$
则函数图像先增后减，与 $ x $ 轴有两个交点，方程有两个实根。
2. 若 $ f\!\left(\frac{1}{a}\right) = 0 $，即
$$
a = \frac{1}{e},
$$
则极大值点恰为与 $ x $ 轴相切，方程有唯一实根（重根）。
3. 若 $ f\!\left(\frac{1}{a}\right) < 0 $，即
$$
a > \frac{1}{e},
$$
则函数最大值仍小于零，方程无实根。
结论：
- 当 $ 0 < a < \frac{1}{e} $ 时，方程有两个实根；
- 当 $ a = \frac{1}{e} $ 时，方程有一个实根；
- 当 $ a > \frac{1}{e} $ 时，方程无实根。
难度：★★☆☆☆