同济高数 第4章 第4-4-19题
📝 题目
19． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}.
$$
步骤1：换元
令
$$
t = \sqrt[3]{x+1} \quad \Rightarrow \quad t^3 = x+1,
$$
则
$$
dx = 3t^2 \, dt.
$$
代入原积分得：
$$
\int \frac{3t^2}{1+t} \, dt.
$$
步骤2：多项式除法化简
由于被积函数是假分式，做除法：
$$
\frac{3t^2}{1+t} = 3\left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right).
$$
验证：
$$
(t-1)(1+t) = t^2 - 1, \quad 加上1得 t^2,
$$
所以正确。
步骤3：积分
于是
$$
\int \frac{3t^2}{1+t} dt = 3 \int \left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right) dt
= 3\left( \frac{t^2}{2} - t + \ln|1+t| \right) + C.
$$
步骤4：回代
由 $ t = \sqrt[3]{x+1} $，得
$$
\int \frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}} = \frac{3}{2} (x+1)^{2/3} - 3\sqrt[3]{x+1} + 3\ln\left|1+\sqrt[3]{x+1}\right| + C.
$$
因此最终结果为：
$$
\boxed{\frac{3}{2} (x+1)^{2/3} - 3\sqrt[3]{x+1} + 3\ln\left|1+\sqrt[3]{x+1}\right| + C}.
$$
难度：★☆☆☆☆（简单换元积分，计算量小）