同济高数 第4章 第4-5-11题
📝 题目
11． $\displaystyle{\int} \sin 3 x \sin 5 x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们需要计算不定积分：
$$
\int \sin 3x \sin 5x \, \mathrm{d}x
$$
步骤1：利用积化和差公式
由三角恒等式：
$$
\sin A \sin B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A - B) - \cos(A + B) \right]
$$
令 $A = 3x$，$B = 5x$，则：
$$
\sin 3x \sin 5x = \frac{1}{2} \left[ \cos(3x - 5x) - \cos(3x + 5x) \right]
= \frac{1}{2} \left[ \cos(-2x) - \cos(8x) \right]
$$
由于 $\cos(-\theta) = \cos\theta$，所以：
$$
\sin 3x \sin 5x = \frac{1}{2} \left[ \cos 2x - \cos 8x \right]
$$
步骤2：代入积分
原积分变为：
$$
\int \sin 3x \sin 5x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int (\cos 2x - \cos 8x) \, \mathrm{d}x
$$
步骤3：分别积分
$$
\int \cos 2x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \sin 2x + C_1
$$
$$
\int \cos 8x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{8} \sin 8x + C_2
$$
因此：
$$
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{8} \sin 8x \right) + C
= \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{16} \sin 8x + C
$$
最终结果：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{16} \sin 8x + C}
$$
难度：★☆☆☆☆