同济高数 第4章 第4-5-12题
📝 题目
12． $\displaystyle{\int} \ln ^{3} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分
$$
\int \ln^{3} x \, \mathrm{d}x.
$$
步骤1：分部积分法
令
$$
u = \ln^{3} x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x,
$$
则
$$
\mathrm{d}u = 3 \ln^{2} x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x, \quad v = x.
$$
由分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$，得
$$
\int \ln^{3} x \, \mathrm{d}x = x \ln^{3} x - \int x \cdot 3 \ln^{2} x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x
= x \ln^{3} x - 3 \int \ln^{2} x \, \mathrm{d}x.
$$
**步骤2：继续处理 $\int \ln^{2} x \, \mathrm{d}x$**
同样用分部积分，令
$$
u = \ln^{2} x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x,
$$
则
$$
\mathrm{d}u = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x, \quad v = x.
$$
得
$$
\int \ln^{2} x \, \mathrm{d}x = x \ln^{2} x - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x
= x \ln^{2} x - 2 \int \ln x \, \mathrm{d}x.
$$
**步骤3：求 $\int \ln x \, \mathrm{d}x$**
再分部积分，令
$$
u = \ln x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x,
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x, \quad v = x,
$$
得
$$
\int \ln x \, \mathrm{d}x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = x \ln x - x + C.
$$
步骤4：回代
先代入步骤3结果到步骤2：
$$
\int \ln^{2} x \, \mathrm{d}x = x \ln^{2} x - 2 (x \ln x - x) + C_1
= x \ln^{2} x - 2x \ln x + 2x + C_1.
$$
再代入步骤1：
$$
\int \ln^{3} x \, \mathrm{d}x = x \ln^{3} x - 3 \left( x \ln^{2} x - 2x \ln x + 2x \right) + C.
$$
化简得
$$
\int \ln^{3} x \, \mathrm{d}x = x \ln^{3} x - 3x \ln^{2} x + 6x \ln x - 6x + C.
$$
因此最终结果为
$$
\boxed{x \ln^{3} x - 3x \ln^{2} x + 6x \ln x - 6x + C}.
$$
难度：★★☆☆☆
（需要连续三次分部积分，但步骤规律性强，适合练习分部积分法）