同济高数 第4章 第4-5-22题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求解不定积分：
$$
\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx
$$

步骤1：化简被积函数
注意到
$$
\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{1-x}{1-x}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}
$$
因此原积分变为：
$$
\int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx
$$

步骤2：拆分积分
将分子拆开：
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx
$$

步骤3：分别积分
第一项是标准公式：
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C_1
$$

第二项用换元法，令 $u = 1 - x^2$，则 $du = -2x\,dx$，即 $x\,dx = -\frac{1}{2} du$，于是：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac12} du = -\sqrt{u} + C_2 = -\sqrt{1-x^2} + C_2
$$

步骤4：合并结果
因此原积分为：
$$
\arcsin x - (-\sqrt{1-x^2}) + C = \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C
$$

最终答案：
$$
\boxed{\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C}
$$

难度：★★☆☆☆
（主要用到代数变形与基本积分公式，计算量小，但需要观察化简技巧）