同济高数 第4章 第4-5-23题

[AI解答]

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我们要求不定积分：
$$
\displaystyle{\int} \frac{x+5}{x^{2}-2 x-1} \mathrm{~d} x
$$

第一步：对分母进行配方
分母为
$$
x^{2} - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2
$$
因此积分变为
$$
\displaystyle{\int} \frac{x+5}{(x-1)^2 - 2} \mathrm{~d} x
$$

第二步：变量代换
令 $ t = x-1 $，则 $ x = t+1 $，$ \mathrm{d}x = \mathrm{d}t $，且 $ x+5 = t+6 $。
积分化为
$$
\displaystyle{\int} \frac{t+6}{t^{2} - 2} \mathrm{~d}t
$$

第三步：拆分为两个积分
$$
\displaystyle{\int} \frac{t}{t^{2} - 2} \mathrm{~d}t + 6 \displaystyle{\int} \frac{1}{t^{2} - 2} \mathrm{~d}t
$$

第四步：分别积分

第一个积分：
令 $ u = t^{2} - 2 $，则 $ \mathrm{d}u = 2t \, \mathrm{d}t $，所以
$$
\displaystyle{\int} \frac{t}{t^{2} - 2} \mathrm{~d}t = \frac{1}{2} \displaystyle{\int} \frac{1}{u} \mathrm{~d}u = \frac{1}{2} \ln|t^{2} - 2| + C_1
$$

第二个积分：
利用公式 $\displaystyle{\int} \frac{1}{t^{2} - a^{2}} \mathrm{~d}t = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{t-a}{t+a}\right| + C$，这里 $ a = \sqrt{2} $，所以
$$
\displaystyle{\int} \frac{1}{t^{2} - 2} \mathrm{~d}t = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{t - \sqrt{2}}{t + \sqrt{2}}\right| + C_2
$$

第五步：合并结果并回代
原积分
$$
= \frac{1}{2} \ln|t^{2} - 2| + 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{t - \sqrt{2}}{t + \sqrt{2}}\right| + C
$$
将 $ t = x-1 $ 代回：
$$
= \frac{1}{2} \ln| (x-1)^2 - 2 | + \frac{3}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{x-1 - \sqrt{2}}{x-1 + \sqrt{2}}\right| + C
$$
注意到 $(x-1)^2 - 2 = x^2 - 2x - 1$，所以最终结果为
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{2} \ln|x^{2} - 2x - 1| + \frac{3}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{x-1-\sqrt{2}}{x-1+\sqrt{2}}\right| + C}
$$

难度：★★☆☆☆