同济高数 第5章 第5-5-1题
📝 题目
1．判定下列反常积分的收敛性：
（1） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt[3]{x^{2}+1}}$ ；
（3） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \sin \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ；
（4） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x|\sin x|}$ ；
（5） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{x \arctan x}{1+x^{3}} \mathrm{~d} x$ ；
（6） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{(\ln x)^{3}}$ ；
（7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x$ ；
（8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}-3 x+2}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐题判定反常积分的收敛性，主要使用比较判别法、极限比较判别法、以及Cauchy判别法。
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(1)
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1} \, dx
$$
分析：
- 在 $x\to 0$ 时，被积函数 $\sim x^2$，积分 $\int_0^1 x^2 dx$ 收敛。
- 在 $x\to +\infty$ 时，被积函数 $\sim \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛。
因此原积分收敛。
结论：收敛。
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(2)
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^{2}+1}}
$$
分析：
当 $x\to +\infty$，
$$
\frac{1}{x \sqrt[3]{x^2+1}} \sim \frac{1}{x \cdot x^{2/3}} = \frac{1}{x^{5/3}}
$$
而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{5/3}} dx$ 收敛（因为 $5/3 > 1$）。在 $x=1$ 处被积函数有限，无瑕点。
因此原积分收敛。
结论：收敛。
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(3)
$$
\int_{1}^{+\infty} \sin\frac{1}{x^{2}} \, dx
$$
分析：
当 $x\to +\infty$，$\frac{1}{x^2} \to 0$，有
$$
\sin\frac{1}{x^2} \sim \frac{1}{x^2}
$$
而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛，故原积分绝对收敛。
结论：收敛。
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(4)
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x|\sin x|}
$$
分析：
- 在 $x\to 0$ 时，被积函数 $\sim 1$，积分 $\int_0^1 1 dx$ 收敛。
- 在 $x\to +\infty$，分母中 $x|\sin x|$ 在大部分点很大，但在 $\sin x = 0$ 的点附近 $|\sin x|$ 很小，可能使分母接近1。
考虑在 $x = n\pi$ 附近，令 $t = x - n\pi$，则 $|\sin x| \sim |t|$，于是
$$
\frac{1}{1+x|\sin x|} \sim \frac{1}{1 + n\pi |t|}
$$
在小区间长度 $\sim \frac{1}{n}$ 上积分 $\sim \frac{\ln n}{n}$，级数 $\sum \frac{\ln n}{n}$ 发散，因此原积分发散。
结论：发散。
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(5)
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{x \arctan x}{1+x^{3}} \, dx
$$
分析：
当 $x\to +\infty$，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，于是
$$
\frac{x \arctan x}{1+x^3} \sim \frac{\pi}{2} \cdot \frac{x}{x^3} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{x^2}
$$
而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛，故原积分收敛。
结论：收敛。
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(6)
$$
\int_{1}^{2} \frac{dx}{(\ln x)^{3}}
$$
分析：
在 $x\to 1^+$ 时，$\ln x \sim x-1$，因此
$$
\frac{1}{(\ln x)^3} \sim \frac{1}{(x-1)^3}
$$
而 $\int_1^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$ 在 $x=1$ 处发散（指数 $3>1$），故原积分发散。
结论：发散。
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(7)
$$
\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x^{4}}} \, dx
$$
分析：
瑕点在 $x\to 1^-$，令 $t=1-x$，则
$$
1-x^4 = (1-x)(1+x+x^2+x^3) \sim 4(1-x)
$$
因此
$$
\frac{x^4}{\sqrt{1-x^4}} \sim \frac{1}{\sqrt{4(1-x)}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}
$$
而 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$ 收敛（指数 $1/2 < 1$），故原积分收敛。
结论：收敛。
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(8)
$$
\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}-3x+2}}
$$
分析：
因式分解：
$$
x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)
$$
在区间 $(1,2)$ 内，两个端点都是瑕点。
- 在 $x\to 1^+$，$(x-1)(x-2) \sim -(x-1)$，取绝对值后 $\sim (x-1)$，因此
$$
\frac{1}{\sqrt[3]{|(x-1)(x-2)|}} \sim \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}
$$
而 $\int_1 \frac{1}{(x-1)^{1/3}} dx$ 收敛（指数 $1/3 < 1$）。
- 在 $x\to 2^-$，类似地 $\sim \frac{1}{\sqrt[3]{2-x}}$，同样收敛。
因此原积分收敛。
结论：收敛。
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最终答案汇总：
1. 收敛
2. 收敛
3. 收敛
4. 发散
5. 收敛
6. 发散
7. 收敛
8. 收敛
难度：★★★☆☆