同济高数 第5章 第5-5-2题

教材习题

📝 题目

2．设反常积分 $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明反常积分 $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]
我们已知反常积分
$$
\int_{1}^{+\infty} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x
$$
收敛，要证明
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x
$$
绝对收敛，即证明
$$
\int_{1}^{+\infty} \left| \frac{f(x)}{x} \right| \, \mathrm{d}x < +\infty.
$$

步骤1：应用柯西–施瓦茨不等式
对于任意有限区间 $[1, A]$，有
$$
\int_{1}^{A} \frac{|f(x)|}{x} \, \mathrm{d}x
\leq \sqrt{ \int_{1}^{A} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \cdot \int_{1}^{A} \frac{1}{x^{2}} \, \mathrm{d}x }.
$$

步骤2：分别处理两个积分
由已知，
$$
\lim_{A \to +\infty} \int_{1}^{A} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x = I < +\infty,
$$
因此对任意 $A$，
$$
\int_{1}^{A} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \leq I.
$$
而
$$
\int_{1}^{A} \frac{1}{x^{2}} \, \mathrm{d}x = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{A} = 1 - \frac{1}{A} \leq 1.
$$

步骤3：得到上界
于是
$$
\int_{1}^{A} \frac{|f(x)|}{x} \, \mathrm{d}x \leq \sqrt{I \cdot 1} = \sqrt{I}.
$$
由于这个上界与 $A$ 无关，且被积函数非负，因此当 $A \to +\infty$ 时，积分单调递增且有上界，故极限存在且有限，即
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{|f(x)|}{x} \, \mathrm{d}x < +\infty.
$$

因此原积分绝对收敛。证毕。

难度评级：★★☆☆☆
（主要用到柯西–施瓦茨不等式与比较判别法，思路直接，计算简单。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：应用柯西-施瓦茨不等式
对于任意有限区间 [1, A]，由柯西-施瓦茨不等式，有 ∫_1^A |f(x)|/x dx ≤ √(∫_1^A f^2(x) dx · ∫_1^A 1/x^2 dx)。
公式：∫_1^A |f(x)|/x dx ≤ √(∫_1^A f^2(x) dx · ∫_1^A 1/x^2 dx)
提示：注意被积函数非负，可直接应用不等式。
步骤 2/3
目标：估计两个积分
由已知，∫_1^+∞ f^2(x) dx 收敛，设其值为 I，则对任意 A，∫_1^A f^2(x) dx ≤ I。而 ∫_1^A 1/x^2 dx = 1 - 1/A ≤ 1。
公式：∫_1^A 1/x^2 dx = 1 - 1/A ≤ 1
提示：注意 ∫_1^A 1/x^2 dx 有界。
步骤 3/3
目标：得到上界并证明收敛
因此 ∫_1^A |f(x)|/x dx ≤ √(I·1) = √I，与 A 无关。由于被积函数非负，积分单调递增且有上界，故当 A→+∞ 时极限存在且有限，即 ∫_1^+∞ |f(x)|/x dx 收敛，从而原积分绝对收敛。
公式：∫_1^A |f(x)|/x dx ≤ √I
提示：单调有界原理保证极限存在。

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