同济高数 第7章 第7-2-1题

[AI解答]

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以下为各小题的详细求解过程，均使用分离变量法求解一阶微分方程。

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（1）
方程：
$$
x y' - y \ln y = 0
$$
化为
$$
x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y \ln y
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{y \ln y} = \frac{\mathrm{d}x}{x}
$$
两边积分：
$$
\int \frac{1}{y \ln y} \, \mathrm{d}y = \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x
$$
令 $u = \ln y$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{y} \mathrm{d}y$，左边为
$$
\int \frac{1}{u} \, \mathrm{d}u = \ln |u| = \ln |\ln y|
$$
右边为 $\ln |x| + C$，所以
$$
\ln |\ln y| = \ln |x| + C
$$
即
$$
\ln y = C_1 x \quad (C_1 = \pm e^C)
$$
通解：
$$
\boxed{y = e^{Cx}}
$$

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（2）
方程：
$$
3x^2 + 5x - 5y' = 0
$$
即
$$
5 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^2 + 5x
$$
分离变量：
$$
\mathrm{d}y = \frac{1}{5}(3x^2 + 5x) \, \mathrm{d}x
$$
积分：
$$
y = \frac{1}{5} \left( x^3 + \frac{5}{2}x^2 \right) + C
$$
通解：
$$
\boxed{y = \frac{x^3}{5} + \frac{x^2}{2} + C}
$$

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（3）
方程：
$$
\sqrt{1 - x^2} \, y' = \sqrt{1 - y^2}
$$
即
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{1 - y^2}} = \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
积分：
$$
\arcsin y = \arcsin x + C
$$
通解：
$$
\boxed{y = \sin(\arcsin x + C)}
$$

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（4）
方程：
$$
y' - x y' = a(y^2 + y')
$$
整理：
$$
y'(1 - x - a) = a y^2
$$
即
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a y^2}{1 - x - a}
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{y^2} = \frac{a}{1 - x - a} \, \mathrm{d}x
$$
积分：
$$
-\frac{1}{y} = -a \ln|1 - x - a| + C
$$
即
$$
\frac{1}{y} = a \ln|1 - x - a| + C_1
$$
通解：
$$
\boxed{y = \frac{1}{a \ln|1 - x - a| + C}}
$$

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（5）
方程：
$$
\sec^2 x \tan y \, \mathrm{d}x + \sec^2 y \tan x \, \mathrm{d}y = 0
$$
化为：
$$
\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, \mathrm{d}x + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, \mathrm{d}y = 0
$$
注意 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan x) = \sec^2 x$，所以
$$
\frac{\mathrm{d}(\tan x)}{\tan x} + \frac{\mathrm{d}(\tan y)}{\tan y} = 0
$$
积分：
$$
\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = C
$$
即
$$
\tan x \cdot \tan y = C
$$
通解：
$$
\boxed{\tan x \tan y = C}
$$

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（6）
方程：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 10^{x+y} = 10^x \cdot 10^y
$$
分离变量：
$$
10^{-y} \, \mathrm{d}y = 10^x \, \mathrm{d}x
$$
积分：
$$
-\frac{10^{-y}}{\ln 10} = \frac{10^x}{\ln 10} + C
$$
两边乘以 $-\ln 10$：
$$
10^{-y} = -10^x + C_1
$$
通解：
$$
\boxed{10^{-y} + 10^x = C}
$$

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（7）
方程：
$$
(e^{x+y} - e^x) \, \mathrm{d}x + (e^{x+y} + e^y) \, \mathrm{d}y = 0
$$
提取公因式：
$$
e^x(e^y - 1) \, \mathrm{d}x + e^y(e^x + 1) \, \mathrm{d}y = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{e^x}{e^x + 1} \, \mathrm{d}x + \frac{e^y}{e^y - 1} \, \mathrm{d}y = 0
$$
积分：
$$
\ln(e^x + 1) + \ln|e^y - 1| = C
$$
即
$$
(e^x + 1)(e^y - 1) = C
$$
通解：
$$
\boxed{(e^x + 1)(e^y - 1) = C}
$$

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（8）
方程：
$$
\cos x \sin y \, \mathrm{d}x + \sin x \cos y \, \mathrm{d}y = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{\cos x}{\sin x} \, \mathrm{d}x + \frac{\cos y}{\sin y} \, \mathrm{d}y = 0
$$
积分：
$$
\ln|\sin x| + \ln|\sin y| = C
$$
即
$$
\sin x \sin y = C
$$
通解：
$$
\boxed{\sin x \sin y = C}
$$

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（9）
方程：
$$
(y+1)^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + x^3 = 0
$$
即
$$
(y+1)^2 \, \mathrm{d}y = -x^3 \, \mathrm{d}x
$$
积分：
$$
\frac{(y+1)^3}{3} = -\frac{x^4}{4} + C
$$
通解：
$$
\boxed{\frac{(y+1)^3}{3} + \frac{x^4}{4} = C}
$$

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（10）
方程：
$$
y \, \mathrm{d}x + (x^2 - 4x) \, \mathrm{d}y = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d}x}{x(x-4)} + \frac{\mathrm{d}y}{y} = 0
$$
部分分式：
$$
\frac{1}{x(x-4)} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x} \right)
$$
积分：
$$
\frac{1}{4} \ln\left| \frac{x-4}{x} \right| + \ln|y| = C
$$
即
$$
\ln\left( |y| \cdot \left|\frac{x-4}{x}\right|^{1/4} \right) = C
$$
通解：
$$
\boxed{y^4 \cdot \frac{x-4}{x} = C}
$$

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难度评级：★★☆☆☆
所有题目均为典型的一阶可分离变量型，计算量小，无复杂技巧，适合初学者练习。