同济高数 第7章 第7-2-2题

[AI解答]

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（1）
原方程：
$$
y' = e^{2x - y}
$$
分离变量：
$$
e^y \, dy = e^{2x} \, dx
$$
两边积分：
$$
\int e^y \, dy = \int e^{2x} \, dx
$$
得：
$$
e^y = \frac{1}{2} e^{2x} + C
$$
由初值 $x=0, y=0$ 得：
$$
1 = \frac{1}{2} + C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{2}
$$
所以特解为：
$$
e^y = \frac{1}{2}(e^{2x} + 1)
$$
或
$$
y = \ln\frac{e^{2x}+1}{2}
$$

难度：★★☆☆☆

---

（2）
原方程：
$$
\cos x \sin y \, dy = \cos y \sin x \, dx
$$
分离变量：
$$
\frac{\sin y}{\cos y} \, dy = \frac{\sin x}{\cos x} \, dx
$$
即
$$
\tan y \, dy = \tan x \, dx
$$
积分得：
$$
-\ln|\cos y| = -\ln|\cos x| + C
$$
即
$$
\ln|\cos y| = \ln|\cos x| - C
$$
取指数：
$$
\cos y = C_1 \cos x
$$
由初值 $x=0, y=\frac{\pi}{4}$ 得：
$$
\cos\frac{\pi}{4} = C_1 \cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
特解：
$$
\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x
$$

难度：★★☆☆☆

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（3）
原方程：
$$
y' \sin x = y \ln y
$$
即
$$
\frac{dy}{dx} \sin x = y \ln y
$$
分离变量：
$$
\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{\sin x}
$$
积分：
$$
\int \frac{1}{y \ln y} \, dy = \int \csc x \, dx
$$
左边：
$$
\ln|\ln y|
$$
右边：
$$
\ln|\tan\frac{x}{2}| + C
$$
所以：
$$
\ln|\ln y| = \ln|\tan\frac{x}{2}| + C
$$
即
$$
\ln y = C_1 \tan\frac{x}{2}
$$
由初值 $x=\frac{\pi}{2}, y=e$ 得：
$$
\ln e = 1 = C_1 \cdot \tan\frac{\pi}{4} = C_1
$$
所以特解：
$$
\ln y = \tan\frac{x}{2}
$$
即
$$
y = e^{\tan\frac{x}{2}}
$$

难度：★★★☆☆

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（4）
原方程：
$$
\cos y \, dx + (1+e^{-x}) \sin y \, dy = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{dx}{1+e^{-x}} = -\frac{\sin y}{\cos y} \, dy
$$
即
$$
\frac{e^x}{e^x+1} dx = -\tan y \, dy
$$
积分：
$$
\int \frac{e^x}{e^x+1} dx = \ln(e^x+1)
$$
右边：
$$
-\int \tan y \, dy = \ln|\cos y|
$$
所以：
$$
\ln(e^x+1) = \ln|\cos y| + C
$$
即
$$
e^x+1 = C_1 \cos y
$$
由初值 $x=0, y=\frac{\pi}{4}$ 得：
$$
1+1 = C_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\Rightarrow\quad C_1 = 2\sqrt{2}
$$
特解：
$$
e^x+1 = 2\sqrt{2} \cos y
$$

难度：★★★☆☆

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（5）
原方程：
$$
x \, dy + 2y \, dx = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{dy}{y} = -\frac{2}{x} dx
$$
积分：
$$
\ln|y| = -2\ln|x| + C
$$
即
$$
y = \frac{C_1}{x^2}
$$
由初值 $x=2, y=1$ 得：
$$
1 = \frac{C_1}{4} \quad\Rightarrow\quad C_1 = 4
$$
特解：
$$
y = \frac{4}{x^2}
$$

难度：★☆☆☆☆

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（6）
原方程：
$$
\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{d\theta} + \frac{\rho^2+1}{\rho^2-1} \cot\theta = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{\rho^2-1}{\rho(\rho^2+1)} d\rho = -\cot\theta \, d\theta
$$
左边分解：
$$
\frac{\rho^2-1}{\rho(\rho^2+1)} = \frac{A}{\rho} + \frac{B\rho+C}{\rho^2+1}
$$
解得：
$$
A = -1,\quad B=2,\quad C=0
$$
所以左边积分：
$$
\int \left(-\frac{1}{\rho} + \frac{2\rho}{\rho^2+1}\right) d\rho = -\ln|\rho| + \ln(\rho^2+1)
$$
右边积分：
$$
-\int \cot\theta \, d\theta = -\ln|\sin\theta|
$$
所以：
$$
\ln\frac{\rho^2+1}{\rho} = -\ln|\sin\theta| + C
$$
即
$$
\frac{\rho^2+1}{\rho} = \frac{C_1}{\sin\theta}
$$
由初值 $\theta=\frac{\pi}{6}, \rho=3$ 得：
$$
\frac{9+1}{3} = \frac{C_1}{1/2} \quad\Rightarrow\quad \frac{10}{3} = 2C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{5}{3}
$$
特解：
$$
\frac{\rho^2+1}{\rho} = \frac{5}{3\sin\theta}
$$
或
$$
\rho^2+1 = \frac{5\rho}{3\sin\theta}
$$

难度：★★★★☆

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（7）
原方程：
$$
x^2(1 + y'^2) = a^2
$$
解得：
$$
y' = \pm \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x}
$$
由初值 $x=a>0, y=0$，此时根号内为0，取正负均可，先取正：
$$
y = \int \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} dx
$$
令 $x = a\sin t$，则 $dx = a\cos t\, dt$，$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$，
积分变为：
$$
\int \frac{a\cos t}{a\sin t} \cdot a\cos t \, dt = a\int \frac{\cos^2 t}{\sin t} dt = a\int \frac{1-\sin^2 t}{\sin t} dt
$$
$$
= a\int (\csc t - \sin t) dt = a\left( \ln|\csc t - \cot t| + \cos t \right) + C
$$
由 $x=a\sin t$，当 $x=a$ 时 $\sin t=1$，则 $t=\frac{\pi}{2}$，代入初值 $y=0$：
$$
0 = a\left( \ln|1-0| + 0 \right) + C \quad\Rightarrow\quad C=0
$$
所以特解为：
$$
y = a\left( \ln\left|\frac{a - \sqrt{a^2-x^2}}{x}\right| + \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} \right)
$$
若取负号，则解为相反数，但初值条件仍满足，通常取正。

难度：★★★★☆