同济高数 第7章 第7-2-3题
📝 题目
3．有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为 10 cm ，顶角为 $60^{\circ}$ ，漏斗下面有面积为 $0.5 \mathrm{~cm}^{2}$ 的孔，求水面高度变化的规律及水流完所需的时间．
💡 答案解析
[AI解答]
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第一步：建立物理模型与变量
设圆锥形漏斗顶点朝下，高 $H = 10\,\text{cm}$，顶角 $60^\circ$，则半顶角为 $30^\circ$。
设任意时刻水面高度为 $h$（从顶点算起），此时水面半径为 $r$，由几何关系：
$$
\tan 30^\circ = \frac{r}{h} \quad\Rightarrow\quad r = h \tan 30^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}.
$$
水面面积为：
$$
A(h) = \pi r^2 = \pi \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi h^2}{3}.
$$
第二步：应用托里拆利定律
孔面积为 $a = 0.5\,\text{cm}^2$，重力加速度取 $g = 980\,\text{cm/s}^2$，流速为：
$$
v = \sqrt{2gh}.
$$
流出体积流量为：
$$
\frac{dV}{dt} = - a v = -0.5 \sqrt{2gh}.
$$
第三步：用水面高度表示体积变化率
圆锥内水的体积：
$$
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h^2}{3}\right) h = \frac{\pi}{9} h^3.
$$
对时间求导：
$$
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} h^2 \frac{dh}{dt}.
$$
第四步：建立微分方程
由流量相等：
$$
\frac{\pi}{3} h^2 \frac{dh}{dt} = -0.5 \sqrt{2g h}.
$$
整理得：
$$
\frac{dh}{dt} = -\frac{0.5 \sqrt{2g}}{\pi/3} h^{-3/2} = -\frac{1.5 \sqrt{2g}}{\pi} h^{-3/2}.
$$
代入 $g=980$，$\sqrt{2g} = \sqrt{1960} = 14\sqrt{10}$，所以：
$$
\frac{dh}{dt} = -\frac{1.5 \times 14\sqrt{10}}{\pi} h^{-3/2} = -\frac{21\sqrt{10}}{\pi} h^{-3/2}.
$$
第五步：求解微分方程
分离变量：
$$
h^{3/2} dh = -\frac{21\sqrt{10}}{\pi} dt.
$$
积分：
$$
\int h^{3/2} dh = \frac{2}{5} h^{5/2} = -\frac{21\sqrt{10}}{\pi} t + C.
$$
初始条件：$t=0$ 时 $h=10$，得：
$$
\frac{2}{5} (10)^{5/2} = C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{2}{5} \times 10^{5/2} = \frac{2}{5} \times (10^{2} \times 10^{1/2}) = \frac{2}{5} \times 100\sqrt{10} = 40\sqrt{10}.
$$
因此水面高度变化规律为：
$$
\frac{2}{5} h^{5/2} = -\frac{21\sqrt{10}}{\pi} t + 40\sqrt{10}.
$$
整理成显式：
$$
h^{5/2} = 100\sqrt{10} - \frac{105\sqrt{10}}{2\pi} t,
$$
即：
$$
h(t) = \left(100\sqrt{10} - \frac{105\sqrt{10}}{2\pi} t\right)^{2/5}.
$$
第六步：求水流完所需时间
当 $h=0$ 时：
$$
100\sqrt{10} - \frac{105\sqrt{10}}{2\pi} T = 0 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{100\sqrt{10} \cdot 2\pi}{105\sqrt{10}} = \frac{200\pi}{105} = \frac{40\pi}{21}\,\text{s}.
$$
数值近似：
$$
T \approx \frac{40 \times 3.1416}{21} \approx 5.98\,\text{s}.
$$
最终答案
水面高度变化规律：
$$
\boxed{h(t) = \left(100\sqrt{10} - \frac{105\sqrt{10}}{2\pi} t\right)^{\frac{2}{5}}}
$$
水流完所需时间：
$$
\boxed{T = \frac{40\pi}{21}\,\text{s} \approx 5.98\,\text{s}}
$$
难度评级：★★★☆☆
（涉及几何关系、托里拆利定律、微分方程建立与求解，计算量中等，但步骤清晰，无复杂技巧。）