中国科学院真题 第20058题
📝 题目
二．（12 分）
求过三点 $(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)$ 的平面的方程，以及过这三点的圆的方程．
💡 答案解析
二。解 显然这三个点分别是三个坐标轴上的点，用截距表示法可知过三点的平面方程是
$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1$ ，假设过这三个点的球的圆心是 $(a, b, c)$ ，半径为 $r$ ，则球方程为
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$ ，而且有方程组
$\left\{\begin{array}{l}(x-3)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \\ x^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=r^{2} \\ x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=r^{2}\end{array}\right.$ ，而由这个方程组可以知道 $a=\frac{9-t}{6}, b=\frac{4-t}{4}, c=\frac{1-t}{2}$ ，
$r=\frac{\sqrt{49 t^{2}-72 t+424}}{12}$ ，当 $t=0$ 时球的方程为 $\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2}+\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{424}{144}$ ，
所以过这三个点的圆方程为 $\left\{\begin{array}{c}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2}+\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{424}{144} \\ \frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1\end{array}\right.$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由三点用截距式得平面方程，设球心(a,b,c)，由到三点等距列线性方程组，解出球心坐标含参数t，写出球方程与平面联立得圆方程。
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