中国科学院真题 第20059题
📝 题目
三．（12 分）
设 A 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换。记 $V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$V=V_{1}+V_{2}$
💡 答案解析
三．证（1）对于任何 $\alpha \in V_{1}$ ，存在 $i$ 使得 $\alpha \in \operatorname{Ker} \mathrm{A}^{i}$ ，即 $\mathrm{A}^{i} \alpha=0$ ，从而 $\mathrm{A} \alpha \in \operatorname{Ker} \mathrm{A}^{i-1}$ ，显然就有了 $\mathrm{A} \alpha \in V_{1}$（对于 $i=1$ 显然的，所以这里就没说这个特殊），从而 $V_{1}$ 是 A 的不变子空间．
对于任何 $\beta \in V_{2}$ ，任何 $j$ 有 $\beta \in \operatorname{Im} \mathrm{A}^{j}$ ，从而 $\mathrm{A} \beta \in \operatorname{Im} \mathrm{A}^{j+1}$ ，而又 $j$ 是任意的，所以就有了 $\mathrm{A} \beta \in \bigcap_{j=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{j+1}$ ，而又由于 $\bigcap_{j=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{j+1}=\bigcap_{j=1}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{j}=\left(\bigcap_{j=1}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{j}\right) \bigcap \operatorname{Im} \mathrm{I}= \bigcap_{j=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{j}$ ，从而 $\mathrm{A} \beta \in V_{2}$ ，所以 $V_{2}$ 是 A 的子空间．
（2）
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：(1)对V₁中α，存在i使Aⁱα=0，则Aα∈KerAⁱ⁻¹⊆V₁；对V₂中β，∀j有β∈ImAʲ，则Aβ∈ImAʲ⁺¹⊆V₂。(2)利用Jordan标准形或核像维数公式证明直和分解。
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