中国科学院真题 第20060题
📝 题目
四．（14 分）
设实二次型 $Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}$ ，其中的 $x=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$ ，试求 $Q(x)$ 的秩和正负惯性指数．
💡 答案解析
四．解 由于 $Q(x)=\sum_{i=1}^{n} x^{2}+\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-2 x \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ ，同时由条件可以知道
$Q(x)=n x^{2}+\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-2 n x^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n x^{2}$ ，于是有了 $Q(x)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\frac{1}{n} \sum_{i, j=1}^{n} x_{i} x_{j}$
矩阵表示即为 $Q(x)=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\left[\begin{array}{ccccc}1 & \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} & 1 & \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & 1 & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} & 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)=x^{T} A x$
对于 $A$ 矩阵，其行列式
$\left|\begin{array}{ccccc}1 & \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} & 1 & \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & 1 & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \cdots & \frac{1}{n} & 1\end{array}\right|=\frac{2 n-1}{n}\left|\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \frac{n-1}{n} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \frac{n-1}{n} & \frac{1}{n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{n-1}{n}\end{array}\right|=\frac{2 n-1}{n} \frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n-1}}>0$ ，从
而可以知道这个矩阵的顺序主子式均大于零，从而知道这个矩阵是正定的，所以秩为 $n$ ，正惯性指数为 $n$ ，负惯性指数为 0 ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：将Q化为矩阵形式A=I-(1/n)J，求A的特征值：0（一重）和1（n-1重），故秩为n-1，正惯性指数n-1，负惯性指数0。
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