中国科学院真题 第20062题
📝 题目
一、设 $A$ 和 $B$ 为满秩方阵，试求
$$
Q=\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
O & B
\end{array}\right) \text { 的逆矩阵 (用 } A^{-1}, B^{-1}, C \text { 表示即可) 。 }
$$
解：由 $\operatorname{det} Q=\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B \neq 0$ 知，$Q$ 可逆。
令 $Q^{-1}=\left(\begin{array}{ll}X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22}\end{array}\right), E$ 表示与 $Q$ 同阶的单位矩阵，
则由 $Q^{-1} Q=E$ 得
$$
\left(\begin{array}{ll}
X_{11} & X_{12} \\
X_{21} & X_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
O & B
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
E_{1} & O \\
O & E_{2}
\end{array}\right) \text {, 其中 } E_{1} \text { 为与 } A \text { 同阶的单 }
$$
位矩阵，其中 $E_{2}$ 为与 $B$ 同阶的单位矩阵。
于是得
$$
\begin{aligned}
& X_{11} A=E_{1}, \quad X_{21} A=O \\
& X_{11} C+X_{12} B=O, \\
& X_{21} C+X_{22} B=E_{2}
\end{aligned}
$$
由此解出
$$
X_{11}=A^{-1}, \quad X_{21}=O, \quad X_{12}=-A^{-1} C B^{-1}, \quad X_{22}=B^{-1}
$$
所以 $Q^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ O & B^{-1}\end{array}\right)$ ．
💡 答案解析
一、设 $A$ 和 $B$ 为满秩方阵，试求
$$
Q=\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
O & B
\end{array}\right) \text { 的逆矩阵 (用 } A^{-1}, B^{-1}, C \text { 表示即可) 。 }
$$
解：由 $\operatorname{det} Q=\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B \neq 0$ 知，$Q$ 可逆。
令 $Q^{-1}=\left(\begin{array}{ll}X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22}\end{array}\right), E$ 表示与 $Q$ 同阶的单位矩阵，
则由 $Q^{-1} Q=E$ 得
$$
\left(\begin{array}{ll}
X_{11} & X_{12} \\
X_{21} & X_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
O & B
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
E_{1} & O \\
O & E_{2}
\end{array}\right) \text {, 其中 } E_{1} \text { 为与 } A \text { 同阶的单 }
$$
位矩阵，其中 $E_{2}$ 为与 $B$ 同阶的单位矩阵。
于是得
$$
\begin{aligned}
& X_{11} A=E_{1}, \quad X_{21} A=O \\
& X_{11} C+X_{12} B=O, \\
& X_{21} C+X_{22} B=E_{2}
\end{aligned}
$$
由此解出
$$
X_{11}=A^{-1}, \quad X_{21}=O, \quad X_{12}=-A^{-1} C B^{-1}, \quad X_{22}=B^{-1}
$$
所以 $Q^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ O & B^{-1}\end{array}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：设逆矩阵为分块矩阵，由乘法关系列出方程组，解得X₁₁=A⁻¹，X₂₁=0，X₁₂=-A⁻¹CB⁻¹，X₂₂=B⁻¹。
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