中国科学院真题 第20063题

二、设 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 为 $n$ 个实数，方阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{1} \\ a_{2} & a_{2} & \cdots & a_{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n} & a_{n} & \cdots & a_{n} \end{array}\right) $$ 试求 $A$ 的所有特征值。 解：$A$ 的特征多项式为 $$ \operatorname{det}(\lambda E-A)=\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{1} & -a_{1} & \cdots & -a_{1} \\ -a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \cdots & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \\ -a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n} \end{array}\right|= $$ $$ \left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n} \end{array}\right|=\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) . $$ 由此可知，$A$ 的 $n$ 个特征值为 $\sum_{i=1}^{n} a_{i}, ~ 0, ~ \cdots, ~ 0$（ 0 为 $n$ 重特征根）。