中国科学院真题 第20072题
📝 题目
5．（20分）设 $A$ 为 $n \times n$ 实方阵
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
$$
而 $V$ 是所有与 $A$ 可交换的 $n \times n$ 实方阵全体，即 $V=\{B \mid B A=A B, B$ 为 $n \times n$ 实方阵 $\}$ 。
证明：（i）$V$ 是线性空间；（ii）$V$ 的维数 $\operatorname{dim} V=n$ 。
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：(i)由可交换矩阵对加法和数乘封闭得V为线性空间。(ii)解方程BA=AB得B为形如b₀I+b₁N+...+bₙ₋₁Nⁿ⁻¹的矩阵（N为幂零部分），维数为n。
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