中国科学院真题 第20083题
📝 题目
1．（30 分）已知如下三阶矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b \\
c & d & 1
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\operatorname{det}(A)$ ；（2）求 $\operatorname{tr}(A)$ ；（3）证明： $\operatorname{rank}(A) \geq 2$ ；（4）为使 $\operatorname{rank}(A)=2$ ，求出 $a, b, c$ 和 $d$应满足的条件．
💡 答案解析
1．解
（1） $\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ll}1 & b \\ d & 1\end{array}\right|+a\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ c & d\end{array}\right|=1-b d-a c$ ．
（2） $\operatorname{tr}(A)=3$ ．
（3）将 $A$ 进行初等变换
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b \\
c & d & 1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b \\
0 & d & 1-a c
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b \\
0 & 0 & 1-a c-b d
\end{array}\right)
$$
显然 $\operatorname{rank}(A) \geq 2$ 。
（4）若使 $\operatorname{rank}(A)=2$ ，只需 $1-a c-b d=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 按第一行展开计算行列式得1-bd-ac；2. 迹为对角线之和=3；3. 对矩阵做初等行变换化为阶梯形，观察非零行数≥2；4. 令阶梯形第三行第三个元素为零得秩=2条件。
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