中国科学院真题 第20084题
📝 题目
2．（20分）设 $A$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个变换。试证：如果 $A$ 保持内积不变，即对于 $\mathbb{R}^{n}$ 中任意两个向量 $\alpha, \beta$ 都有
$$
(A \alpha, A \beta)=(\alpha, \beta),
$$
那么，它一定是线性的，而且是正交的．
💡 答案解析
2．证
先证 $A(\alpha+\beta)=A \alpha+A \beta$ ，由于
$$
\begin{aligned}
& (A(\alpha+\beta)-A \alpha-A \beta, A(\alpha+\beta)-A \alpha-A \beta) \\
& =(A(\alpha+\beta), A(\alpha+\beta))-2(A(\alpha+\beta), A \alpha) \\
& -2(A(\alpha+\beta), A \beta)+(A \alpha, A \alpha)+(A \beta, A \beta)+2(A \alpha, A \beta) \\
& =(\alpha+\beta, \alpha+\beta)-2(\alpha+\beta, \alpha)-2(\alpha+\beta, \beta)+(\alpha, \alpha)+(\beta, \beta)+2(\alpha, \beta) \\
& =0
\end{aligned}
$$
故 $A(\alpha+\beta)-A \alpha-A \beta=0$ ，从而
$$
A(\alpha+\beta)=A \alpha+A \beta
$$
再证，$A(k \alpha)=k A \alpha$ ．由于
$$
\begin{aligned}
& (A(k \alpha)-k A \alpha, A(k \alpha)-k A \alpha) \\
& =(A(k \alpha), A(k \alpha))-k(A \alpha, A(k \alpha))-k(A(k \alpha), A \alpha)+k^{2}(A \alpha, A \alpha) \\
& =(k \alpha, k \alpha)-k(\alpha, k \alpha)+k(k \alpha, \alpha)+k^{2}(\alpha, \alpha) \\
& =0
\end{aligned}
$$
故 $A(k \alpha)-k A \alpha=0$ ，从而 $A(k \alpha)=k A \alpha$ ．
综上，$A$ 是线性变换，又保持内积不变，因而为正交变换．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 计算(A(α+β)-Aα-Aβ)的模平方，利用保持内积展开得0，推出加法保持；2. 类似计算(A(kα)-kAα)的模平方得0，推出数乘保持；3. 从而A为线性变换，且保持内积，故为正交变换。
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