中国科学院真题 第20085题
📝 题目
3．（20 分）设 $A$ 是2003阶实方阵，且 $A^{r}=0$ ，这里 $r$ 是自然数．问 $A$ 的秩 $r a n k(A)$ 最大值是多少？
💡 答案解析
3．解
首先，证 $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$
$$
\begin{gathered}
\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & 0 \\
-A & E_{s}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & B \\
A & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & -B \\
0 & E_{m}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & 0 \\
0 & -A B
\end{array}\right), \\
\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & B \\
A & 0
\end{array}\right)=\operatorname{rank}\left(E_{n}\right)+\operatorname{rank}(-A B)=n+\operatorname{rank}(A B),
\end{gathered}
$$
但
$$
\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & B \\
A &
\end{array}\right)=\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
B & E_{n} \\
& A
\end{array}\right) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B),
$$
从而得 $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．
这样，
$$
\begin{aligned}
0 & =\operatorname{rank}\left(A^{r}\right)=\operatorname{rank}\left(A A^{r-1}\right) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}\left(A^{r-1}\right)-n \\
& \geq 2 \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}\left(A^{r-2}\right)-2 n \geq \cdots \\
& \geq r \times \operatorname{rank}(A)-(r-1) n
\end{aligned}
$$
从而， $\operatorname{rank}(A) \leq \frac{(r-1) n}{r}$ ．
当 $n=2003$ 时，有 $\operatorname{rank}(A) \leq \frac{2003(r-1)}{r}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 证明秩不等式rank(AB)≥rank(A)+rank(B)-n；2. 对A^r=0递推得0=rank(A^r)≥r·rank(A)-(r-1)n；3. 解得rank(A) ≤ n - n/r，取整数得到最大值。
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